Matematyka.pl

Wyznaczyć a i b tak, żeby funkcja f była ciągła

1.
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \ln x - ln (\sin 2x), \ \ \ \ x (0, \frac{\pi}{2}) \\
b, \ \ \ x = 0 \\
a(1 + tg x)^{\frac{1}{3x}}, \ \ \ x (-\frac{\pi}{4}, 0) \end{cases}}\)

Liczyłem granicę do \(\displaystyle{ 0^{+}}\) i wychodzi mi \(\displaystyle{ \ln \frac{1}{2}}\)

A dalej to już same głupoty

2.
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \ln (\sin 2x) - ln (\sin 3x), \ \ \ \ x (0, \frac{\pi}{3}) \\
a, \ \ \ x = 0 \\
b(1 + tg x)^{\frac{1}{2x}}, \ \ \ x (-\frac{\pi}{4}, 0) \end{cases}}\)

1)
granica \(\displaystyle{ x\to 0^-}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^-} a(1+\tan x)^{\frac{1}{3x}} = a \lim_{x\to 0^-} (1+\tan x)^{\frac{1}{3x}} = a \lim_{x\to 0^-} e^{\frac{\ln (1+\tan x)}{3x}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^-} \frac{\ln (1+\tan x)}{3x} = H = \lim_{x\to 0^-} \frac{1}{3(1+\tan x)\cos^2x} = \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^-} a(1+\tan x)^{\frac{1}{3x}} = a \sqrt[3]{e}}\)

teraz tylko dobrać współczynniki
\(\displaystyle{ \ln \frac{1}{2} = b = a \sqrt[3]{e}}\)

2) analogicznie, tylko w kilku miejscach odpowiednio pozmieniać