Matematyka.pl

Witajcie!

Mam 4 przykłady obliczenia granic funkcji i nie mogę sobie z nimi poradzić. Obliczenie MUSI być wykonane na zasadzie przekształceń i redukcji uciążliwego wyrażenia, powodującego pojawienie się w obliczeniach symbolu nieokreślonego:

b.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to2}\frac{x- \sqrt{3x-2}}{{x}^2-4}}\)

e.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[4]{x}}{{x}^2-1}}\)

h.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[6]{x}-1}{x-1}}\)

j.) \(\displaystyle{ \large\lim_{x\to-1}\frac{{x}^2-1}{\sqrt[3]{x}+1}}\)

Z góry dziękuję za wszelką pomoc.


Ta "prośba" w temacie była nieco nieregulaminowa

W pierwszym przykładzie rozłóż licznik korzystając z różnicy kwadratów, a następnie powstały trójmian na postać iloczynową.
Na drugie nie mam pomysłu na razie.
W trzecim skorzystaj ze wzoru na różnicę szóstych potęg (jest w Kompendium) dla licznika.
W czwartym suma sześcianów dla mianownika powinna załatwić sprawę .

b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to2}\frac{x-\sqrt{3x-2}}{x^{2}-4}=\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-(3x-2)}{(x-2)(x+2)(x+\sqrt{3x-2})}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x-1)}{(x-2)(x+2)(x+\sqrt{3x-2})}=\frac{1}{16}}\)

[ Dodano: Sob Wrz 10, 2005 6:24 pm ]
e) \(\displaystyle{ \lim_{x\to1}\frac{x^{1/3}-x^{1/4}}{x^{2}-1}=\lim_{x\to1}\frac{x^{4/3}-x^{4/4}}{(x^{2}-1)(x^{1/3}+x^{1/4})(x^{2/3}+x^{2/4})}= \\ =\lim_{x\to1}\frac{x(x^{1/3}-1)(x^{2/3}+x^{1/3}+1)}{(x^{2}-1)(x^{1/3}+x^{1/4})(x^{2/3}+x^{2/4})(x^{2/3}+x^{1/3}+1)}=\lim_{x\to1}\frac{x(x-1)}{(x-1)(x+1)(x^{1/3}+x^{1/4})(x^{2/3}+x^{2/4})(x^{2/3}+x^{1/3}+1)}=\frac{1}{24}}\)

mam nadzieje ze sie nigdzie nie walnalem

"Przeciąłem" Ci ten drugi przykład, bo rozszerzał ekran niepotrzebne.

Dziękuję wszystkim za pomoc. Wasze rady okazały się trafne i skuteczne. We wszystkich przykładach uzyskałem prawidłowe wyniki. Aram -> w pierwszym przykładzie ma być 1/16, a nie 1/8 .

Co najśmieszniejsze, nie mogę sobie poradzić z przykładem "J" (4-ty). Stisuję ten wzór na sumę sześcianów i wszystko się pięknie skraca, tylko dlaej mam kłopoty z podstawieniem. W efekcie wychodzi mi granica (-6), podczas gdy Mathematica 5.1 twierdzi, że ma wyjść 0...
Przy okazji pytanie: (-1)^2/3 powinno wyjść 1. Prawda?

Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś mógł mi napisać o przykład krok po kroku.

Również mi wyszło -6. Ponadto nigdy nie ufałem i nie mam zamiaru zaufać programom tego typu .
A, tak (-1)^2/3 jest równe 1.

faktycznie 1/16, post poprawilem

Rogal Mathematica jeszcze nigdy mnie nie zawiodła i raczej mało prawdopodobne jest, aby był w niej zaszyty tak karygodny błąd ---> programy tego typu działają na jednoznacznych metodach obliczeń, gdyż jak wiadomo komputer może wykonać milion razy więcej operacji w ciągu sekundy niż nasz mózg.

Teraz do rzeczy. Biorę kalkulator naukowy i wpisuję mu:

\(\displaystyle{ (-1)^{\frac{2}{3}}}\) Otrzymuję wynik: "Ma error". OK. Biorę więc program do rysowania wykresów funkcji i każę mu ją narysować. Oto wynik:



Jak widać na wykresie, funkcja przyjmuje tylko wartości dodatnie. Nie ma więc dla niej wartości od (-1). Nie wiem tylko czemu tak jest (bo np. dl wykładnika 1/3 jest już ok) i jak to obejść w moim obliczeniu. Próbowałem wyłączyć x^(1/3) przed nawias, ale wtedy otrzymałem jeszcze inny wynik: (-2)...

Gdyby ktoś potrafił wyjaśnić tę zawiłość, byłbym wdzięczny.

Ponieważ w takich programach jest sztuczne ograniczenie. Gdy wykładnik potęgi podany jest jako ułamek, wtedy zawężają dziedzinę do rzeczywistych dodatnich. Bardzo tego nie lubię, sam też wczoraj próbowałem to rysować, ale niestety też tylko od 0 dostałem wykres.

Ponadto widzisz przewagę mózgu. Komputer wykonuje milion operacji na sekundę, ale nie potrafi narysować prostego wykresu, bo nikt go nie zaprogramował tak, bo stwarzałoby to inne, poważniejsze problemy (w stylu (-1)^3/2). My sobie radzimy świetnie z analizą takich funkcji, a komputer z analizą bardziej złożonych, bo nam szkoda czasu. Jednak zawsze mamy przewagę .

Viper: komputer napewno nie wykonuje miliona operacji wiecej niz nasz mozg. Liczy sie ze w przyblizeniu ze mozg wykonuje \(\displaystyle{ 10^{18}}\) operacji na sekunde, a przecietny komputer \(\displaystyle{ 10^9}\). Jest to oczywiscie uzasadnione tym ze mozg wykonuje operacje rownolegle a komputer szeregowo, bo sam neuron jest oczywiscie nieporownalnie wolniejszy niz procesor.

Mam pytanie. Dlaczego \(\displaystyle{ (-1)^{\frac{2}{3}}}\) jest równe 1, a nie na przykład \(\displaystyle{ \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}}\)?

No i chyba znowu macie rację... Tylko szkoda, że autor oprogramowania o tym nie poinformował. Swoją drogą, ciekawe dlaczego Liczy tylko w R+?

juzef - Czy Ty przypadkiem nie pytasz o liczby nierzeczywiste z jednostką urojoną i? Z góry uprzedzam, że znam tylko rzeczywiste...

Mam kolejny problem. Piszę tutaj, a nie zakładam nowego tematu z uwagi na to, że mój problem chyba nie dotyczy konkretnego przykładu, a raczej sposobu.

Otóż mamy np. taki przykład:

\(\displaystyle{ \large\lim{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt[3]{x^{3}+1}}{\sqrt[4]{x^{4}+8}}}\)

Łatwo wyliczyć, że granicą jest 0. A teraz ten sam przykład, tylko w minus nieskończoności:

\(\displaystyle{ \large\lim{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+2}-\sqrt[3]{x^{3}+1}}{\sqrt[4]{x^{4}+8}}}\)

Wg. Mnie granicą też powinno być 0. Wg. Mathematica jest to liczba nierzeczywista, a po zmuszeniu jej do podania wyniku w liczbach rzeczywistych, wychodzi 2.

Czy coś źle robię? Czy ktoś mógłby napisać rozwiązanie krok po kroku?

Jak na moje oko zwichrowane, to w obu przypadkach jest symbol \(\displaystyle{ \frac{0}{\infty}}\), czyli pasowałoby to chyba jakoś poprzekształcać...

Nie bardzo rozumiem. Liczy się to tak chyba, że po pierwiastkiem włączasz x w stopniu pierwiastka przed nawias, potem spod pierwiastków, a resztę w nawias. Następnie skracasz x i liczysz granicę. Nie chce mi się tego pisać w TEX, więc skorzystam ze skanera

W sumie racja. Sam zrobiłem \(\displaystyle{ \infty-\infty=0}\) i mi głupio . Wygląda, że nie będzie inaczej, ale ja się w sumie mało znam na granicach.

\(\displaystyle{ \infty-\infty=}\)s.n (symbol nieokreślony), a nie 0. Wynik 0 bierze się stąd, że 1/x dąży do 0, a sqrt(1), to 1 .

To co? Nikt mi nie pomoże?