Matematyka.pl

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne (x,y) spełniają warunek: \(\displaystyle{ log _{2} \frac{xy}{2}=log _{2}x log _{2}y}\).

Ja doszedłem do czegoś takiego: \(\displaystyle{ 1=log _{2}x}\) i:
1) nie wiem czy to dobrze
2) nie wiem co dalej

Ja bym zrobił tak:
\(\displaystyle{ log_2 \frac{xy}{2} = log_2 x + log_2 y - log_2 2 = log_2 x log_2 y \\
log_2x (1 - log_2 y) = 1 - log_2 y \\
(log_2 x - 1)(1 - log_2 y) = 0 \\
log_2 x = 1 log_2 y = 1 \\
x = 2 y = 2}\)

Nie wiem jak przeszedłeś z równania w 2 linijce do tego w 3....

Wasilewski, mógłbyś wytłumaczyc z jakich własności logarytmu korzystałeś?

zgubiłem się już tutaj

Wasilewski pisze:\(\displaystyle{ log_2 x + log_2 y - log_2 2 = log_2 x log_2 y \\}\)

dlaczego tak?

Barcelonczyk pisze:Wasilewski, mógłbyś wytłumaczyc z jakich własności logarytmu korzystałeś?
zgubiłem się już tutaj

Wasilewski pisze:\(\displaystyle{ log_2 x + log_2 y - log_2 2 = log_2 x log_2 y \\}\)

dlaczego tak?

To po lewej , to przekształcona lewa strona \(\displaystyle{ log _{2}\frac{xy}{2}}\), a po prawej prawa strona pierwszegi równania \(\displaystyle{ log _{2}xlog _{2}y.}\)

No tak, a druga linijka?

Barcelonczyk pisze:No tak, a druga linijka?

\(\displaystyle{ log_2 x + log_2 y - log_2 2 = log_2 x log_2 y \\ log_2 x-log_2 xlog _{2}y = log_2 2-log_2 y\\log_2 x(1-log _{2}y) =1-log_2 y.}\)

Mamy:
\(\displaystyle{ log_2 2 = 1 \\
log_2 x + log_2 y - 1 = log_2 x log_2 y \\
log_2x - log_2 x log_2 y = 1 - log_2 y \\
log_2x ( 1 - log_2y) = 1-log_2 y \\
(log_2 x - 1)(1 - log_2 y) = 0}\)