Matematyka.pl

Znalazłem nawet login
Jako, że dopiero zobaczyłem TeXa (wybaczcie, że tak późno), postanowiłem przepisać wzór..
Oczywiście zadanie brzmi Oblicz granicę funkcji :

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} (\sqrt{x} - \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}})}\)

Generalnie zadanie sprowadza się do elementarnych przekształceń:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} (\sqrt{x} - \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}})=}\)

Mnożenie licznika i mianownika przeż sprzężenie licznika:

\(\displaystyle{ = \lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}})(\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}})}{(\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}})}=\\=\lim_{x\to\infty} \frac{-\sqrt{x + \sqrt{x}}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}}}=}\)

Wyłączanie \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) z licznika i mianownika:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{-\sqrt{x + x \sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{x + x \sqrt{\frac{1}{x}}}}}=\\=\lim_{x\to\infty} \frac{-\sqrt{x}\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{x + x \sqrt{\frac{1}{x}}}}}=\\=\lim_{x\to\infty} \frac{-\sqrt{x}\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+\sqrt{x}\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}}=\\=\lim_{x\to\infty} \frac{-\sqrt{x}\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+x\sqrt{\frac{1}{x}}\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}}=\\=\lim_{x\to\infty} \frac{-\sqrt{x}\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{x} + \sqrt{x}\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}}\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}}=\\=\lim_{x\to\infty} \frac{-\sqrt{x}\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}{\sqrt{x}(1 + \sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}}\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}})}=\\=\lim_{x\to\infty} \frac{-\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}{1 + \sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{x}}\sqrt{1 + \sqrt{\frac{1}{x}}}}}}\)

Po elementarnych przekształceniach łatwo zauważyć, że granicą jest \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\).