Matematyka.pl

W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną w stosunku 1:3. Oblicz kąty tego trójkąta.

h-wysokosć, przciwprostokątną, dzielisz na odcinki 2x i x.
Niech kąt przy krotszej czesci przeciwprostokatnej bedzie \(\displaystyle{ \alpha}\) a drugi \(\displaystyle{ 90-\alpha}\)
wiec
\(\displaystyle{ \frac{h}{2x} =tg90-\alpha=ctg\alpha}\)
\(\displaystyle{ ctg\alpha= \frac{x}{h}}\) z drugiego trojkata
\(\displaystyle{ \frac{h}{2x} = \frac{x}{h}}\)
\(\displaystyle{ h ^{2} =2x ^{2}}\)
\(\displaystyle{ h= \sqrt{2} x}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha= \sqrt{2}}\)
Korzystasz z tablic i masz kat.

Korynt...wysokość dzieli w stosunku 3:1 a nie 2:1 to znacząca róznica:)
Jestem w trakcie klecenia rozwiązania, także za chwilkę pojawi się na forum.

[ Dodano: 16 Kwietnia 2008, 22:07 ]
Nie mogę wysłać jeszcze obrazka bo nie napisałem 10 postów, to napiszę Ci jakie ja przyjąłem oznaczenia:
-kąt prosty znajduje się przy wierzchołku A
-wierzchołek C to ten tak jakby na górze i przy nim zaznaczyłem kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
-analogicznie przy wierzchołku B jest kąt \(\displaystyle{ 90^o - }\)
-odcinek AD to wysokość poprowadzona z wierzchołka A.
-odcinek CD to 3x, a odcinek DB to x

Z zależności, że\(\displaystyle{ \bigtriangleup ACD}\) \(\displaystyle{ \sim}\)\(\displaystyle{ \bigtriangleup ADB}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{AD}{ 3x }\,=\,\frac{x}{ AD }}\)
\(\displaystyle{ AD^{2}\,=\,3x^{2}}\)
\(\displaystyle{ AD\,=\,{\sqrt[2]{3}}x}\)

Teraz z twierdzenia pitagorasa obliczamy np. długość AC:

\(\displaystyle{ AC^{2} \,=\, CD^{2} + AD^{2}}\)
\(\displaystyle{ 9x^{2} + 3x^{2} \,=\, 12x^{2}}\)
\(\displaystyle{ 12x^{2} \,=\, AC^{2}}\)
\(\displaystyle{ AC \,=\, 2{\sqrt[2]{3}}x}\)

Teraz korzystając z funkcji trygonometrycznych obliczamy \(\displaystyle{ \sin\alpha}\):
\(\displaystyle{ \sin\alpha \,=\,\frac{ \sqrt{3}x }{ 2\sqrt{3}x }}\)
\(\displaystyle{ \sin\alpha \,=\,\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \alpha \,=\,30^o}\).
Tak więc mamy trójkąt ABC o kątach \(\displaystyle{ 90^o , 30^o , 60 ^o}\)


P.S Może ktoś poleci jakiś program do robienia rysunków matematycznych.

pozdrawiam.

rzeczywiscie, mój bład... krzywo popatrzylem....
No ale rozwiazanie analogiczne....