Matematyka.pl

Jak udowodnić, że każdy ciąg o wahaniu skończonym jest różnicą dwóch ciągów rosnących ograniczonych?

Informacja, która się przyda: funkcja o wahaniu skończonym jest ograniczona.
Niech \(\displaystyle{ W_{a}^{b}}\) oznacza wahanie funkcji na przedziale \(\displaystyle{ [a,b]}\). Możemy sobie zdefiniować funkcję:
\(\displaystyle{ a(x) = W_{a}^{x} (f)}\)
Niech f(x) będzie funkcją o wahaniu skończonym. Rozważmy funkcje:
\(\displaystyle{ p(x) = \frac{1}{2} (a(x) + f(x)) \\
q(x) = \frac{1}{2} (a(x) - f(x))}\)
Widzimy oczywiście, że:
\(\displaystyle{ p(x) - q(x) = f(x)}\)
Jako że wahanie jest skończone, a przez to funkcja f(x) jest ograniczona, to również funkcje p(x) i q(x) są ograniczone. Pozostaje pokazać, że są rosnące. Rozważmy przedział \(\displaystyle{ [c,d]}\). Oczywiście:
\(\displaystyle{ |f(d) - f(c)| qslant W_{c}^{d}}\)
Wynikają z tego takie nierówności:
\(\displaystyle{ W_{c}^{d} + f(c) - f(d) qslant 0}\)
i
\(\displaystyle{ W_{c}^{d} + f(d) - f(c) qslant 0}\)
Zauważmy teraz, że:
\(\displaystyle{ W_{c}^{d} + f(c) - f(d) = 2 (q(d) - q(c)) \\
W_{c}^{d} + f(d) - f(c) = 2(p(d) -p(c))}\)
Zatem funkcje te są rosnące. Rozumowanie to naturalnie przenosi się na potrzeby zadania, a więc rozpatrywanie jedynie ciągów (wszak jest to szczególny przypadek). Mam nadzieję, że nic nie pomyliłem, ale ogólnie jakoś tak się to robiło.