Szacowanie dwumianu Newtona

[Jan Kraszewski]

Kłóci się to z mianownikiem wyrażenia po lewej stronie ponieważ wtedy powinno w nim być \(\displaystyle{ (s+1)!(n-s-1)!}\).

Powinno być. Po prostu jest błąd.

JK

[kaminie318]

Jeżeli wykonuję zadanie w ten sposób wychodzi ono źle, gdyż silnia z wyrażenia \(\displaystyle{ (n-s-1)!}\) nie jest klarowna i nie da się jej "uprościć" w fajny sposób. Czy Lewa strona nierówności z komentarza Janusza Tracza na pewno jest zła? Nie ma tu głębszej logiki? Według mnie po rozwinięciu wyrażenia powinien być tam minus ale skoro kilka osób obradowało nad tym zadaniem i nie zgłaszali błędów być może uproszczenie mianownika jest dobrze?

[a4karo]

Janusz Tracz popełnił błąd zapisując tezę indukcyjną - zdarza się.
Założenie indukcyjne:
\(\displaystyle{ \binom{n}{s}\le \left(\frac{en}{s}\right)^s}\)
Teza indukcyjna:
\(\displaystyle{ \binom{n}{s+1}\le \left(\frac{en}{s+1}\right)^{s+1}}\)

\(\displaystyle{ \binom{n}{s+1}=\frac{n!}{(s+1)!((n-s-1)!}=\frac{n!(n-s)}{s!(s+1)(n-s)!}=\binom{n}{s}\frac{n-s}{s+1}\le \left(\frac{en}{s}\right)^s\frac{n-s}{s+1}}\)

Do pokazania jest zatem nierówność
\(\displaystyle{ \left(\frac{en}{s}\right)^s\frac{n-s}{s+1}\le\left(\frac{en}{s+1}\right)^{s+1} }\)
A to jest równoważne nierówności
\(\displaystyle{ \left(\frac{s+1}{s}\right)^s\le e\frac{n}{n-s}}\), która jest prawdziwa, bo \(\displaystyle{ \frac{n}{n-s}\ge 1}\)

[kaminie318]

Nie rozumiem tego rozwinięcia
\(\displaystyle{ \frac{n!}{(s+1)!((n-s-1)!}=\frac{n!(n-s)}{s!(s+1)(n-s)!}}\)

[a4karo]

To rozpisz sobie na przykładzie `n=7,s=2`

[kaminie318]

Ale skąd się w ogóle wziął ten licznik w wyrażeniu po prawej stronie?

[a4karo]

Rozpisz, to zobaczysz

[kaminie318]

Rozpisz, to zobaczysz

Rozpisałem i coś mi tu nie pasuje, na pewno wszystko jest okej w logice?

[a4karo]

Napisz tu i powiedz co ci nie pasuje

[kaminie318]

Napisz tu i powiedz co ci nie pasuje

Strony równania po podstawieniu są sobie sprzeczne

[Jan Kraszewski]

Strony równania po podstawieniu są sobie sprzeczne

Czyżby? Przecież \(\displaystyle{ \frac{7!}{3!\cdot 4!}=\frac{7!\cdot 5}{2!\cdot 3\cdot 5!}.}\)

JK

[kaminie318]

Faktycznie, liczyłem na szybko i się pomyliłem. Skąd wzięły się te rachunki? Wiem, że po podstawieniu L == P ale skąd to przekształcenie równania o które pytałem?

[a4karo]

No właśnie stąd.
\(\displaystyle{ \frac{(s+1)!}{s!}=???}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n-s)!}{(n-s-1)!}=???}\)

[kaminie318]

Chyba nie rozumiem skąd te wartości, skąd się to wszystko wzięło skoro rozwinięciem dwumianu Newtona jest:
\(\displaystyle{ \binom{n}{s+1}\ = \frac{n!}{(s+1)!(n-s-1)!}}\)

[a4karo]

Weż do ręki olówek i cos policz. To pomaga. Bo na razie to tylko gadasz