Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n+1] {{n \choose 0}{n \choose 1}....{n \choose n}}= \sqrt{e}}\)

Powyższa równość jest nieprawdziwa, najprawdopodobniej chodziło o coś takiego:
\(\displaystyle{ \Large \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n^2] {{n \choose 0}{n \choose 1}....{n \choose n}}= \sqrt{e}}\)
Co zostało dowiedzione poniżej.
Sylwek

Wydaje mi się, że ten ciąg ma granicę niewłaściwą. Spróbujmy tak:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } ln(a_{n}) = \lim_{n\to } \frac{ ln \prod_{k=0}^{n} }{n+1} = S = \lim_{n\to } ln \prod_{k=0}^{n} {n+1 \choose k} + ln {n +1\choose n+1} - ln \prod_{k=0}^{n} = \lim_{n\to } ln \prod_{k=0}^{n} \frac{ {n+1 \choose k} }{ } = \lim_{n\to } ln \prod_{k=0}^{n} \frac{n+1}{n+1-k} = \lim_{n\to } ln \frac{(n+1)^{n}}{(n+1)!} = \lim_{n \to } n ln \frac{n+1}{\sqrt[n]{(n+1)!}} = }\)
Jeśli gdzieś jest błąd, to proszę o wskazanie go. S oznacza użycie twierdzenia Stolza.

No w sumie dla każdego \(\displaystyle{ 1 \leqslant k \leqslant n-1}\) zachodzi: \(\displaystyle{ \binom{n}{k} \geqslant n}\), zatem po sformalizowaniu zapisu:

\(\displaystyle{ a_n \geqslant \sqrt[n+1]{n^{n-1}}=b_n}\) - a to szereg rozbieżny, z tego łatwo dostajemy rozbieżność wyjściowego ciągu

Zobaczymy, co wyjdzie, gdy pierwiastek będzie stopnia \(\displaystyle{ n^2}\).
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} ln(a_{n}) = \frac{ ln \prod_{k=0}^{n} {n\choose k}}{n^2} = S = \lim_{n\to \infty} \frac{ln \prod_{k=0}^{n} \frac{n+1}{n+1-k}}{2n+1} = \lim_{n\to \infty} \frac{2n}{2n+1} \cdot \frac{1}{2} ln \frac{n+1}{\sqrt[n]{(n+1)!}} = \frac{1}{2} lne = \frac{1}{2}}\)
Czyli taki ciąg zbiega właśnie do \(\displaystyle{ \sqrt{e}}\). Nie wiem, czy takie miało być właśnie polecenie, ale i tak granica jest ciekawa.