Matematyka.pl

Witam serdecznie wszytskich wielkich matematykow tego forum
Ja nie zaliczam sie do prymusow z tej dziedziny i mam problem z pewnym zadaniem
Bardzo prosze o pomoc (bylbym wdzieczny za wyjasnienie krok po kroku)

\(\displaystyle{ \sum (\frac{1}{2}\: \arcsin \:\tan \:\frac{\pi n}{1+4n})^n}\)

Jak zbadac zbieznosc tego szeregu ?

1. Sprawdzasz, że funkcja \(\displaystyle{ g(n)=\tan\frac{n\pi}{4n+1}}\) jest dodatnia i rosnąca dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\);
2. Sprawdzasz, że jest ograniczona: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}g(n)=1}\);
3. Wynik z punktu 2. oznacza, że funkcja \(\displaystyle{ f(n)=\arcsin(g(n))}\) jest określona dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), jest również dodatnia - z monotoniczności arcsinusa;
4. Dodatniość \(\displaystyle{ f(n)}\) pociąga za sobą dodatniość wszystkich wyrazów szeregu - możesz zastosować kryterium Cauchy'ego;
5. Po zastosowaniu kryterium dostajesz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{(\frac{1}{2}f(n))^n}=\frac{\pi}{4}}\);
6. Wobec tego szereg jest zbieżny.

Dziekuje bardzo za szczegolowe wyjasnienie. Mysle ze juz to rozumie.
Ale mam jeszcze pytanie czy mozna kryterium Cauchyego zastosowac na poczatku a dopiero potem obliczac tangensa 1 i potem arcsin. Chyba to nie ma znaczenia ... ?

Chodzi o to, że kryterium Cauchy'ego stosujesz do szeregów o wyrazach dodatnich, więc pierwsze cztery punkty weryfikują zasadność zastosowania tego kryterium.

Dziekuje bardzo za odpowiedz