Matematyka.pl

dla jakich wartosci parametru m rownanie \(\displaystyle{ (2log _{0,5} m-1)x ^{2} -2x+log _{0,5} m=0}\) ma co najmniej jeden pierwiastek

Aby równanie miało conajmniej jeden pierwiastek, delta musi być \(\displaystyle{ \geqslant 0}\), czyli

\(\displaystyle{ \Delta = 4 - 4\log_{0,5}m\left(2\log_{0,5}m -1) qslant 0}\)

Zróbmy podstawienie \(\displaystyle{ t=\log_{0,5}m}\)

\(\displaystyle{ -8t^2 + 4t + 4 qslant 0}\)

\(\displaystyle{ 2t^2 - t - 1 qslant 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 9 \sqrt{\Delta} = 3 t = 1 t = - \frac{1}{2} t\in\left[-\frac{1}{2}, 1\right]}\)

\(\displaystyle{ \log_{0,5}m qslant -\frac{1}{2} \log_{0,5}m qslant 1}\)

\(\displaystyle{ m qslant \sqrt{2} m qslant \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ m\in\left[\frac{1}{2}, \sqrt{2}\right]}\)