Matematyka.pl

Witam!

Pokażcie mi błąd w moim rozumowaniu (wiem, że można inaczej rozwiązać to równianie - tak, też zrobiłem ale nie wiem gdzie mam błąd w tym rozumowaniu).

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x = 1 \\
\sin^{2} x + \cos^{2} x + 2\sin x\cos x = 1 \\
1 + 2\sin x\cos x = 1 \\
2\sin x\cos x = 0 \\
\sin x = 0 \cos x = 0 \\
x = k\pi x = \frac{\pi}{2} + k\pi \ gdzie \ k C}\)

No i np. pi będące liczbą z przedziału w którym teoretycznie to powinno działać daje nam wynik, że -1 = 1 (całkowita sprzeczność). Proszę o pomoc.

Tadrion pisze: \(\displaystyle{ \sin x + \cos x = 1 \\
\sin^{2} x + \cos^{2} x + 2\sin x\cos x = 1 \\}\)

Podnosząc do kwadratu nabywasz dodatkowe rozwiązania. Konkretnie są to rozwiązania równania \(\displaystyle{ \sin x+\cos x = -1}\), gdyż zarówno \(\displaystyle{ 1}\) jaki i \(\displaystyle{ -1}\) podnosząc do kwadratu dają \(\displaystyle{ 1}\). Jeśli chcesz tak rozwiązać, to musisz zabezpieczyć lewą stronę, tzn \(\displaystyle{ \sin x+\cos x>0}\).

Hm, ani sin x ani cos x w przypadku tego równania nie mogą być mniejsze od zera. Jak wiemy każda z tych funkcji ma zbiór wartości więc gdyby któraś z nich przyjmowała wartosc ujemna automatycznie "brakłoby" tej drugiej, aby uzupełnić to do jedynki. Myślałem więc, że mogę w ten sposób rozumować.

Tadrion pisze:Witam!
Pokażcie mi błąd w moim rozumowaniu (wiem, że można inaczej rozwiązać to równianie - tak, też zrobiłem ale nie wiem gdzie mam błąd w tym rozumowaniu).
No i np. pi będące liczbą z przedziału w którym teoretycznie to powinno działać daje nam wynik, że -1 = 1 (całkowita sprzeczność). Proszę o pomoc.

Błędu w rozwiązaniu nie ma. Brakuje sprawdzenia rozwiązań. Są przekształcenia, które nie zapewniają równoważności równań, inaczej zbiór rozwiązań równania wyjściowego może stać się podzbiorem właściwym zbioru rozw. rów. końcowego.

Tadrion pisze:Hm, ani sin x ani cos x w przypadku tego równania nie mogą być mniejsze od zera. Jak wiemy każda z tych funkcji ma zbiór wartości więc gdyby któraś z nich przyjmowała wartosc ujemna automatycznie "brakłoby" tej drugiej, aby uzupełnić to do jedynki. Myślałem więc, że mogę w ten sposób rozumować.

Oczywiście, że jak sinx lub cosx są ujemne to nie ma rozwiązań. Ale one przez twoją metodę pojawiają się, więc musisz je wykluczyć poprzez dodatkowe założenia!