Matematyka.pl

Witam, wiem że było już te zadanie na forum, ale nie zostało do końca rozwiązane i może ktos wpadnie na pomysl. Z góry dzieki.

Pole trapezu jest równe P, a stosunek długości podstaw trapezu wynosi 2. Przekątne dzielą ten trapez na cztery trójkąty. Oblicz pole każdego z tych trójkątów.

Trójkąty, których bokami są podstawy trapezu są podobne.

\(\displaystyle{ 2a, a -}\) długości podstaw

\(\displaystyle{ 2h, h -}\) wysokosci tych trójkątów

\(\displaystyle{ 3h -}\) wysokość trapezu

\(\displaystyle{ P = \frac{(2a+a)*3h}{2} = \frac{9}{2} ah}\)

\(\displaystyle{ P_{1} = \frac{ah}{2} = \frac{1}{9} P}\)

\(\displaystyle{ P_{2} = \frac{2a*2h}{2} = \frac{4}{9} P}\)

Gdzie \(\displaystyle{ P_{1}}\) to pole trójkąta, którego bokiem jest krótsza podstawa trapezu, a \(\displaystyle{ P_{2}}\) to pole tego, którego jeden z boków to dłuższa podstawa trapezu

Punkt przecięcia przekątnych dzieli te przekatne w stosunku 1:2 (wynika to z podobieństwa trójkątów, o których była mowa).

\(\displaystyle{ 3x, 3y}\) - dł. przekątnych

Zatem trójkąt o polu \(\displaystyle{ P_{1}}\) ma boki o długościach: \(\displaystyle{ a, x, y}\), a ten o polu \(\displaystyle{ P_{2}}\) ma boki o dł. \(\displaystyle{ 2a, 2x, 2y}\)

Oznaczmy kąt między przekatnymi jako \(\displaystyle{ \alpha}\)

\(\displaystyle{ P_{1} = \frac{1}{2} xy sin\alpha = \frac{1}{9}P}\)


\(\displaystyle{ P_{3} = \frac{1}{2} 2x*y sin ( 180^{o} - ) = 2* \frac{1}{2} xy sin\alpha = \frac{2}{9} P}\)

\(\displaystyle{ P_{4} = \frac{2}{9} P}\) , co można obliczyć analogicznie