Matematyka.pl

Poruszamy się po okręgu według następującej zasady: startując z ustalonego punktu posuwamy się z prawdopodobieństwem 1/2 o jedną czwartą cześć okręgu zgodnie z ruchem wskazówek zegara i z prawdopodobieństwem 1/2 posuwamy się o jedną trzecią część okręgu przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Jakie jest prawdopodobieństwo, że startując z ustalonego punktu i poruszając się według tej zasady znajdziemy się po 24 krokach w punkcie startu?

"P(A)" wiele mówi o treści... Kasia

mamy ciag zero-jedynkowy dlugosci 24, przez jedynke rozumiemy ruch o 1/3 w przod, a przez 0 ruch o 1/4 w tyl. ciagow takich jest \(\displaystyle{ 2^{24}}\).

to w jakim miejscu okregu znajdziemy sie w 24 ruchu zalezy od roznicy w liczbie zer i jerdynek, a roznych roznic jest 25.

poniewaz wspolnym mianownikiem dla 1/3 i 1/4 jest 12 to tylko jesli liczba jedynek (lub zer) będzie wielokrotnoscia 12 dojdziemy do punktu startowego.*
w zbiorze {0, 1, ... 24} takie liczby to: 0, 12 i 24.

na marginesie mozna dodac, ze do punktu startowego mozemy wrocic jedynie wykonujac jeden lub osiem obrotow w jedna strone, lub 6 obrotow w strone przeciwna.

0 jedynek mozna wybrac na \(\displaystyle{ {24 \choose 0}}\) sposobow;
12 jedynek mozna wybrac na \(\displaystyle{ {24 \choose 12}}\) sposobow;
24 jedynek mozna wybrac na \(\displaystyle{ {24 \choose 24}}\) sposobow;

ostatecznie odpowiedz to: \(\displaystyle{ \frac{{24 \choose 0}+{24 \choose 12}+{24 \choose 24}}{2^{24}}}\)


* - w ogolniosci (czyli dla dowolnej liczby krokow) ten fragment opisu wymaga bardziej szczegolowego komentarza, tylko dlatego, ze 12 dzieli 24 pozwolilem sobie na taki skrot.

ale mam w zadaniu 4 warianky odpowiedzi:

3/25 odpada
\(\displaystyle{ 1/2^{4}+1/2^{3}}\) odpada
\(\displaystyle{ 1352079/2^{23}}\) odpada
\(\displaystyle{ 1/2^{12}}\) to by bylo to?