Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem, a \(\displaystyle{ \cal{X}}\) niech będzie \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrą określoną w \(\displaystyle{ X}\). \(\displaystyle{ \cal{X}}\) oddziela punkty tzn. dla dowolnych \(\displaystyle{ y,z X}\) istnieje zbiór \(\displaystyle{ B \cal{X}}\) taki, że \(\displaystyle{ y B}\) oraz \(\displaystyle{ z \not B}\). Czy istnieje \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebra oddzielająca punkty, która nie zawiera wszystkich zbiorów jednopunktowych z \(\displaystyle{ X}\)?

Jak narazie wiem, że \(\displaystyle{ X}\) nie może być zbiorem przeliczalnym. Bo jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest przeliczalny to ustalmy \(\displaystyle{ x_0 X}\) określamy rodzinę zbiorów mierzalnych:

dla \(\displaystyle{ x X-\{x_0\}}\) \(\displaystyle{ B_x}\) jest z \(\displaystyle{ \cal{X}}\) t, że \(\displaystyle{ x_0 B_x}\) oraz \(\displaystyle{ x \not B_x}\).

Wtedy \(\displaystyle{ \bigcap_{x X - \{x_0\}} B_x = \{x_0\} \cal{X}}\).

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest nieprzeliczalne, to powyższe rozumowanie nie działa. Ma ktoś jakiś pomysł?

Moze cos takiego, ewntualnie do dopracowania szczególy...
Jesli P jest co najwyzej przeliczalny, to \(\displaystyle{ A_{P}=P \cup \{x_0\}}\), niech S: bedzie tak zdef: \(\displaystyle{ M S}\) gdy \(\displaystyle{ M A_{P}}\) lub \(\displaystyle{ M^{C} A_{P}}\) dla pewnego P, CZy S jest sigma algebra..? o ile tak, to
Wtedy gdy \(\displaystyle{ y x_0}\) to \(\displaystyle{ \{ y\} S}\), a tez \(\displaystyle{ \{ x_0, y+1, y+2, ...\}}\) rozdiela elementy \(\displaystyle{ x_0}\) i y
tj X=R

Kurcze, może ja czegoś nie rozumiem, ale wydaje mi się, że z samego określenia rodziny \(\displaystyle{ S}\) wynika, że \(\displaystyle{ S = 2^{A_p}}\).

hmmm, np \(\displaystyle{ I=(0,1) S}\)..?!

Masz rację. Nie dojrzałem, że działamy na podzbiorach \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).