Matematyka.pl

Witam, mam takie zadanko, aby poniższą formę kwadratową sprowadzić do postaci kanonicznej:

\(\displaystyle{ 2x ^{2} _{1} +x ^{2} _{2} +x _{3} ^{2} -6x _{1}x _{2}+4x _{1}x _{3} -4x _{2}x _{3}}\)

Rozwiązałem to metodą Jacobiego następująco:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-3&2\\-3&1&-2\\2&-2&1\end{array}\right]}\) to macierz formy.

wyznaczniki równe odpowiednio:

\(\displaystyle{ det _{0} =1}\)
\(\displaystyle{ det _{1} =2}\)
\(\displaystyle{ det _{2} =-7}\)
\(\displaystyle{ det _{3} =5}\)

Czyli wobec tego postać kanoniczna powinna wyglądać tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} x ^{2}- \frac{2}{7} y ^{2} - \frac{7}{5}z ^{2}}\)

Natomiast jako odpowiedź mam podane:

\(\displaystyle{ \frac{1}{8} x ^{2}- \frac{1}{14} y ^{2} - \frac{5}{7}z ^{2}}\)

No i moje pytanie: Czy zrobiłem tu błąd, czy to błąd w odpowiedzi. Jeśli zrobiłem błąd, to proszę go wskazać i mnie poprawić;D

Ponadto, jakby ktokolwiek mógł, to BARDZO PROSZĘ przedstawić rozwiązanie jakby podejść do tego metodą Lagrange'a. (poszczególne przekształcenia)

otóż to co zrobiłeś to jest dopiero \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) zadania

do tej pory raczej wszystko dobrze lecz Ty wyliczyłeś:

\(\displaystyle{ F(t)=\frac{1}{2} t _{1} ^{2}- \frac{2}{7} t _{2} ^{2} - \frac{7}{5}t _{3} ^{2}}\)

Teraz znajdujesz bazę \(\displaystyle{ u}\) w której forma:
\(\displaystyle{ 2x ^{2} _{1} +x ^{2} _{2} +x _{3} ^{2} -6x _{1}x _{2}+4x _{1}x _{3} -4x _{2}x _{3}}\)
ma postać kanoniczną.

Baza ta wygląda tak:
\(\displaystyle{ u=\left( u _{1},u _{2},u _{3} \right)}\), tak że:
\(\displaystyle{ u _{1} =\alpha e _{1}}\)
\(\displaystyle{ u _{2} =\beta e _{1}+\gamma e _{2}}\)
\(\displaystyle{ u _{3} =\delta e _{1}+\epsilon e _{2} +\zeta e _{3}}\)

czyli: \(\displaystyle{ u _{1} =\left[ \alpha,0,0\right]}\), \(\displaystyle{ u _{2} =\left[ \beta,\gamma,0\right]}\), \(\displaystyle{ u _{3}=\left[ \delta,\epsilon,\zeta\right]}\)

Oraz są spełnione następujące równania:
\(\displaystyle{ \left( 1\right)F\left( u _{1} e _{1} \right)=1}\)
\(\displaystyle{ \left( 2\right)F\left( u _{2} e _{1} \right)=0 , F\left( u _{2} e _{2} \right)=1}\)
\(\displaystyle{ \left( 3\right)F\left( u _{3} e _{1} \right)=0 , F\left( u _{3} e _{2} \right)=0 , F\left( u _{3} e _{3} \right)=1}\)

Trochę tu liczenia ale potem jak znajdziesz każdy ze współczynników to masz bazę i te wektory bazowe wstawiasz potem do równania:
\(\displaystyle{ t=t _{1} u _{1} +t _{2} u _{2} +t _{3} u _{3}}\)

Pozdrawiam