Matematyka.pl

Mamy dany ciąg \(\displaystyle{ f_n}\) funkcji mierzalnych. Należy pokazać, że suma \(\displaystyle{ f}\) zbieżnego szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f_n}\) jest funkcją mierzalną.

Czy to zadanie jest równoważne z pokazaniem, że zbiór

\(\displaystyle{ A=\left\{x:\ \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)\ \mathrm{jest\ zbiezny}\right\}}\)

jest mierzalny? Jeśli tak, to chyba umiem to zrobić, bo ponieważ szereg jest zbieżny to spełnia warunek Cauchy'ego. Po kilku przejściach mamy, że

\(\displaystyle{ A=\bigcap_{m}\bigcup_k\bigcap_{N',N}\left\{x:\ \left|\sum_{n=N+1}^{N'}f_n(x)\right|<\frac1{m^2}\right\}}\)

Ponieważ skończona suma funkcji mierzalnych \(\displaystyle{ f_n}\) jest funkcją mierzalną, oraz moduł takiej sumy również, więc mamy przeliczalne sumy i przekroje zbiorów mierzalnych (bo są to przeciwobrazy zbiorów \(\displaystyle{ \left(-\infty,\frac1{m^2}\right)}\) przez funkcję mierzalną), czyli zbiór mierzalny.

Ale czy to o to tak naprawdę chodziło? Jeśli nie to prosiłbym o jakąś wskazówkę do tego zadania.

Raczej nie o to chodzilo.

Sprobuj pokazac ze dla \(\displaystyle{ \{ f_{n}\}_{n}}\) mierzalnych
\(\displaystyle{ f(x)= \sup_{n} f_{n}(x)}\)
jest mierzalna

Hmmm, to umiem zrobić, jak można to tutaj wykorzystać?

z tego pokazujesz ze inf jest mierzealna z tego ze limsup jest mierzalana, a \(\displaystyle{ f}\) to nic innego jak granica sum czesciowych szeregu czyli jest mierzalna

Aaa... kurde sorry za głupie pytania, jestem już trochę zmęczony dzisiaj i mogę nie dostrzegać pewnych oczywistości... Czyli ostatecznie chodzi o pokazanie, że granica zbieżnego (czyli \(\displaystyle{ \limsup = \liminf}\), więc wystarczy nam wiedzieć, że \(\displaystyle{ \limsup}\) jest mierzalna) ciągu funkcji mierzalnych jest funkcją mierzalną?

Gdy to już mamy to z założenia

\(\displaystyle{ f(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f_k(x)}\)

a ponieważ każdy wyraz ciągu sum częściowych jest skończoną sumą funkcji mierzalnych, a więc funkcją mierzalną, więc mamy granicę ciągu funkcji mierzalnych, która jest, jak pokazaliśmy wcześniej, funkcją mierzalną (uhhh, chyba (za) dużo razy powtórzyłem słowa "funkcja mierzalna" w różnych wariacjach ). I tyle?

Na to wyglada