Matematyka.pl

Zbadaj zbieżność i znajdź granicę

\(\displaystyle{ x_{n+1}=\sqrt{x_n+3}}\) \(\displaystyle{ x_1=\sqrt{3}}\),
Prosiłbym o w miarę szczegółowe rozwiązanie.

\(\displaystyle{ x_1=\sqrt{3} \\
x_2=\sqrt{3+\sqrt{3}} \\
x_3=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3}}} \\
... \\ \\}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } x_n = a \\
a=\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...}}}} \\
a^2=3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+...}}} \\
a^2-a=3 \\
a^2-a-3=0 \\
\sqrt{\Delta}=\sqrt{13} \\
a=\frac{1-\sqrt{13}}{2} a=\frac{1+\sqrt{13}}{2}}\)
Jako, że mamy do czynienia tylko z liczbami dodatnimi, granica tego ciągu jest równa \(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{13}}{2}}\)

Ponieważ poprzednik zrobił jedynie drugą część zadania ("znajdź granicę") już przy założeniu, że pierwsza część ("zbadaj zbieżność') dała wynik pozytywny, więc może potwierdzę, że rzeczywiście go daje, to znaczy, że ciąg jest zbieżny.

Pokażemy, że ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest a) ograniczony i b) rosnący.

a) \(\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}\ x_n}\).
Dowód (indukcja po \(\displaystyle{ n}\)).
1. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ x_1=\sqrt{3}}\), czyli ok.
2. Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ x_n}\). Pokażemy, że wynika z tego, że \(\displaystyle{ x_{n+1}}\). Mamy

\(\displaystyle{ x_{n+1}=\sqrt{x_n+3}}\).

Zatem nasz ciąg jest ograniczony.

b) \(\displaystyle{ \forall n\in\mathbb{N}\ x_{n+1}-x_n>0}\)
Dowód (indukcja po \(\displaystyle{ n}\)).
1. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ x_2=\sqrt{\sqrt{3}+3},x_1=\sqrt{3}}\) oraz
\(\displaystyle{ x_2-x_1=\frac3{x_2+x_1}>0}\), czyli ok.
2. Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ x_{n+1}-x_n>0}\). Pokażemy, że wynika z tego, że \(\displaystyle{ x_{n+2}-x_{n+1}>0}\). Mamy \(\displaystyle{ x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1}+3},x_{n+1}=\sqrt{x_n+3}}\). Stąd

\(\displaystyle{ x_{n+2}-x_{n+1}>0=\frac{x_{n+1}-x_n}{x_{n+2}+x_{n+1}}>0}\).

Zatem nasz ciąg jest rosnący.

Z a) i b) wynika, że \(\displaystyle{ x_n}\) jest zbieżny.

Wielkie dzięki panowie Właśnie brakowało mi udowodnienia tego, nie wpadłem na tą indukcję.