Matematyka.pl

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych jest dwa razy większy od drugiego.Oblicz pole tego trójkąta, wiedząc, że jego obwód wynosi \(\displaystyle{ 12+4 \sqrt{3}}\)

katy ostre wynosza \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) dalej sobie poradzisz

Witam
Narysuj sobie trójkąt prostokątny, następnie jeden z kątów ostrych oznacz jako \(\displaystyle{ \alpha}\), drugi jako \(\displaystyle{ 2\alpha}\).
Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa \(\displaystyle{ 180^\circ}\).
\(\displaystyle{ 180^\circ-90^\circ=90^\circ}\)
\(\displaystyle{ \alpha + 2\alpha = 90^\circ}\)
\(\displaystyle{ 3\alpha= 90^\circ}\)
\(\displaystyle{ \alpha= 30^\circ}\)
Stąd: \(\displaystyle{ \alpha= 30^\circ}\) , a \(\displaystyle{ 2\alpha= 60^\circ}\)
Z funkcji trygonometrycznych ( nawet jeśli nie miałeś jeszcze trygonometrii, powinieneś znać miary boków trójkątów: \(\displaystyle{ 45^\circ,45^\circ}\) i\(\displaystyle{ 90^\circ}\) oraz \(\displaystyle{ 30^\circ,60^\circ,90^\circ}\)): \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt3}{2}}\) - jest to dł. dłuższej przyprostokątnej, \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\) - dł. krótszej przyprostokątnej, \(\displaystyle{ a}\) - dł. przeciwprostokątnej

Obw.=\(\displaystyle{ 12+4\sqrt3}\)
\(\displaystyle{ \fra{a\sqrt3}{2} + \frac{a}{2} + a= 12+4\sqrt3}\)
\(\displaystyle{ \frac{3a+a\sqrt3}{2}= 12+4\sqrt3}\)
\(\displaystyle{ 3a+a\sqrt3=24+8\sqrt3}\)
\(\displaystyle{ a(3+\sqrt3) = 8(3+\sqrt3)}\)
\(\displaystyle{ a=8}\)

\(\displaystyle{ \frac{a}{2}=4}\)

\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt3}{2}=4\sqrt3}\)
Pole danego trójkąta prostokątnego:
\(\displaystyle{ P=\frac{4\sqrt3*4}{2}= 8\sqrt3}\)
Pozdrowionka

wow,serdeczne dzięki za rozpisanie bardzo mi pomogłaś
pozdrawiam