[Planimetria] Trzy okręgi współpękowe

[Sylwek]

Na płaszczyźnie dane są trzy okręgi o środkach odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ O_1, \ O_2, \ O_3}\) i przecinające się parami odpowiednio w puntach \(\displaystyle{ A, \ P; \ B, \ P}\) oraz \(\displaystyle{ C, \ P}\). Udowodnij, że jeżeli punkty \(\displaystyle{ A, \ B, \ C}\) leżą na jednej prostej, to punkty \(\displaystyle{ O_1, \ O_2, \ O_3, \ P}\) leżą na jednym okręgu.



Wyczuwam tu jakąś inwersję lub potęgę punktu, no ale nie mam na to zadanie w ogóle pomysłu. Dzięki z góry ze wszelkie wskazówki lub rozwiązania

[Menda]

Niech \(\displaystyle{ \angle ABP=y}\) wobec tego \(\displaystyle{ \angle AO_3P=2y}\) zatem \(\displaystyle{ \angle O_2O_3P=180^o-y}\). Jednakże \(\displaystyle{ \angle CBP=180^o-y}\). Zatem \(\displaystyle{ \angle CO_1P=2y}\) stąd \(\displaystyle{ \angle O_2O_1P=y}\). Stąd otrzymujemy tezę zadania.

Pozdro

[Sylwek]

Dzięki

Dodam, że:

Zatem \(\displaystyle{ \angle O_2O_3P=180^o-y}\)

Gdyż \(\displaystyle{ \Delta PO_2O_3 \equiv \Delta A O_2 O_3}\).