Matematyka.pl

Proszę serdecznie o pomoc bo w ciągach nie daje rady..:/
Zad)Wyznacz ciąg arytmetyczny \(\displaystyle{ (a_{n})}\),tzn.\(\displaystyle{ a_{1}}\) oraz różnicę r, wiedząc że:
\(\displaystyle{ a) \ a_{10}=8 \ oraz \ a_{22}=12}\)
\(\displaystyle{ b) \ a_{6}-a_{4}=1 \ oraz \ a_{5}+a_{13}=16}\)
\(\displaystyle{ c) \ a_{3}=4 \ oraz \ S_{5}=20}\)

ad a
\(\displaystyle{ a_1+9r=8 \\
a_1+21r=12}\)
tj r=1/3 etc a1=5

Ad b,
\(\displaystyle{ a_{6}=a_{1}+5r}\), a \(\displaystyle{ a_{4}=a_{1}+3r}\), zatem:
\(\displaystyle{ a_{6}-a_{4}=a_{1}+5r-a_{1}-3r=2r}\)
\(\displaystyle{ 2r=1}\), a co za tym idzie \(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ a_{5}=a_{1}+4r}\) oraz \(\displaystyle{ a_{13}=a_{1}+12r}\)
\(\displaystyle{ a_{5}+a_{13}=a_{1}+4r+a_{1}+12r=2a_{1}+16r}\)
\(\displaystyle{ 2a_{1}+16r=16}\)
\(\displaystyle{ 2a_{1}+8=16}\)
\(\displaystyle{ 2a_{1}=8}\), tak więc \(\displaystyle{ a_{1}=4}\)

Ad c,

Wzór na sumę \(\displaystyle{ n}\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego to \(\displaystyle{ S_{n}=n\cdot \frac{a_{1}+a_{n}}{2}}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ a_{5}=a_{1}+4r}\), więc po podstawieniu do wzoru na sumę
\(\displaystyle{ S_{5}=5\cdot \frac{2a_{1}+4r}{2}=20}\)
Do tego dochodzi równość \(\displaystyle{ a_{3}=a_{1}+2r=4}\), co pozwala na stworzenie układu równań...

\(\displaystyle{ \begin{cases} 5\cdot \frac{2a_{1}+4r}{2}=20\\a_{1}+2r=4\end{cases}}\)