Matematyka.pl

W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim.

Zadanie próbowałem rozwiązać w taki sposób:

(1) długość promienia okręgu wpisanego \(\displaystyle{ r=\frac{2P}{a+2b}}\)
(2) długość promienia okręgu opisanego \(\displaystyle{ R=\frac{ab^{2}}{4P}}\)

Z tw. sinusów mamy, że \(\displaystyle{ a=\frac{bsin2\alpha}{sin\alpha}}\)
Natomiast ze wzoru na pole trójkąta wynika, że \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}b^{2}sin2\alpha}\)

Dalej podstawiam do wzoru (1) co daje \(\displaystyle{ r=\frac{bsin\alpha sin2\alpha}{sin2\alpha+2sin\alpha}}\)
A podstawiwszy do wzoru (2) \(\displaystyle{ R=\frac{b}{2sin\alpha}}\)

Pozostaje mi już tylko wyliczenie stosunku \(\displaystyle{ \frac{r}{R}=\frac{sin^{2}\alpha}{4(cos\alpha+1)}}\)

Wszystko byłoby pięknie tylko że w odpowiedziach jest \(\displaystyle{ 2cos\alpha(1-cos\alpha)}\)

Czy mógłby mi ktoś powiedzieć gdzie się pomyliłem i jaka jest poprawna droga rozwiązania tego zadania?

Z góry dzięki za pomoc

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a}\) ramię rozpatrywanego trójkąta, a przez \(\displaystyle{ b}\) jego podstawę.

Wyraźmy pole trójkąta na dwa sposoby:

\(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \sin (180^{\circ}-2\alpha)=\frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \sin 2\alpha}\)
\(\displaystyle{ S=\left(\frac{a+a+b}{2}\right)\cdot r}\)

Z twierdzenia sinusów mamy:

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin 2\alpha}}\)
\(\displaystyle{ b=\frac{a\cdot \sin 2\alpha}{\sin\alpha}=2a\cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ S=\left(\frac{a+a+b}{2}\right)\cdot r=\left(\frac{2a+2a\cos\alpha}{2}\right)\cdot r=(a+a\cos\alpha)\cdot r}\)

Przyrównując \(\displaystyle{ s}\) dostajemy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot a^2\cdot \sin 2\alpha=(a+a\cos\alpha)\cdot r}\)
\(\displaystyle{ 2r\cdot (\cos\alpha + 1)=a\sin 2\alpha}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{a\sin 2\alpha}{2(\cos\alpha+1)}}\)

Z twierdzenia sinusów mamy:

\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha}=2R}\)
\(\displaystyle{ R=\frac{a}{2\sin\alpha}}\)

\(\displaystyle{ \frac{r}{R}=\frac{a\sin 2\alpha}{2(\cos\alpha+1)}\cdot \frac{2\sin\alpha}{a}=\frac{4\sin^2\alpha\cos\alpha}{2(\cos\alpha +1)}=\frac{2\cdot(1-\cos\alpha)\cdot (1+\cos\alpha)\cdot \cos\alpha}{\cos\alpha + 1}=2\cos\alpha (1-\cos\alpha)}\)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki