Mam tu zadania z roku 2007 z VII edycji, byłbym wdzięczny jakby ktoś je tu rozwiązał
1. Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi nie mniejszymi od 3. Wykaż, że wysokość tego trójkąta, opuszczona na bok środkowej długości, dzieli go na odcinki, których różnica długości jest równa 4.
2. Czy liczba \(\displaystyle{ b^{2}-4ac}\) może być równa 23, jeśli a,b,c są liczbami całkowitymi? Odp uzasadnij.
3. W kwadracie obrano \(\displaystyle{ 2n^{2}+1}\) punktów tak, że żadne trzy nie należą do jednej prostej. Udowodnij, że wśród wybranych punktów istnieją trzy, które są wierzchołkami trójkąta o polu nie większym niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2n^{2}}}\) pola kwadratu.
4. Jest w innym temacie
5.Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +...+ \frac{1}{99} - \frac{1}{100}= \frac{1}{51} + \frac{1}{52} +... \frac{1}{100}}\)
VII Podkarpacki Konkurs Matematyczny
-
- Użytkownik
- Posty: 760
- Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: z Lublina
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 177 razy
VII Podkarpacki Konkurs Matematyczny
Podziel kwadrat na \(\displaystyle{ n ^{2}}\) małych kwadracików. Wówczas z ZSD co najmniej 3 z punktów należą do jednego kwadracika- to one tworzą ten szukany trójkąt, którego pole nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2n ^{2} }}\) pola wyjściowego kwadratu.-- 3 lutego 2009, 13:19 --Ad. 2
Nie, uzasadnienie:
\(\displaystyle{ 23\equiv3(mod 4) \wedge 4ac\equiv0(mod 4) \Rightarrow b ^{2}\equiv3(mod 4)}\)
Teraz trzeba zauważyć, że dla całkowitego k
\(\displaystyle{ k ^{2}\equiv0(mod 4) \vee k ^{2}\equiv1(mod 4)}\), więc nie istnieje \(\displaystyle{ b ^{2}\equiv3(mod 4)}\)
Nie, uzasadnienie:
\(\displaystyle{ 23\equiv3(mod 4) \wedge 4ac\equiv0(mod 4) \Rightarrow b ^{2}\equiv3(mod 4)}\)
Teraz trzeba zauważyć, że dla całkowitego k
\(\displaystyle{ k ^{2}\equiv0(mod 4) \vee k ^{2}\equiv1(mod 4)}\), więc nie istnieje \(\displaystyle{ b ^{2}\equiv3(mod 4)}\)
- emator2
- Użytkownik
- Posty: 127
- Rejestracja: 4 lis 2008, o 19:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 51° 08'N 22° 50'E
- Podziękował: 10 razy
VII Podkarpacki Konkurs Matematyczny
Jakiś pomysł na 5? Lewa strona ładnie wychodzi, ale prawa jakoś mi się nie chce rozłożyć.