VII Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Wojewódzkie. Regionalne. Miejskie. Szkolne. Klasowe;)
Ades
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 23 wrz 2007, o 10:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Podkarpacie
Podziękował: 2 razy

VII Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Ades » 26 mar 2008, o 16:49

Mam tu zadania z roku 2007 z VII edycji, byłbym wdzięczny jakby ktoś je tu rozwiązał

1. Długości boków trójkąta są trzema kolejnymi liczbami całkowitymi nie mniejszymi od 3. Wykaż, że wysokość tego trójkąta, opuszczona na bok środkowej długości, dzieli go na odcinki, których różnica długości jest równa 4.
2. Czy liczba \(\displaystyle{ b^{2}-4ac}\) może być równa 23, jeśli a,b,c są liczbami całkowitymi? Odp uzasadnij.
3. W kwadracie obrano \(\displaystyle{ 2n^{2}+1}\) punktów tak, że żadne trzy nie należą do jednej prostej. Udowodnij, że wśród wybranych punktów istnieją trzy, które są wierzchołkami trójkąta o polu nie większym niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2n^{2}}}\) pola kwadratu.
4. Jest w innym temacie
5.Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +...+ \frac{1}{99} - \frac{1}{100}= \frac{1}{51} + \frac{1}{52} +... \frac{1}{100}}\)

Awatar użytkownika
Desmondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 90
Rejestracja: 8 lis 2006, o 19:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jagodnik
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 6 razy

VII Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: Desmondo » 3 lut 2009, o 12:37

Mógłby mi ktoś podsunąć jakąś wskazówkę do zadania 3?

MagdaW
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 760
Rejestracja: 18 mar 2008, o 10:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z Lublina
Podziękował: 32 razy
Pomógł: 177 razy

VII Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: MagdaW » 3 lut 2009, o 13:06

Podziel kwadrat na \(\displaystyle{ n ^{2}}\) małych kwadracików. Wówczas z ZSD co najmniej 3 z punktów należą do jednego kwadracika- to one tworzą ten szukany trójkąt, którego pole nie przekracza \(\displaystyle{ \frac{1}{2n ^{2} }}\) pola wyjściowego kwadratu.-- 3 lutego 2009, 13:19 --Ad. 2
Nie, uzasadnienie:
\(\displaystyle{ 23\equiv3(mod 4) \wedge 4ac\equiv0(mod 4) \Rightarrow b ^{2}\equiv3(mod 4)}\)

Teraz trzeba zauważyć, że dla całkowitego k
\(\displaystyle{ k ^{2}\equiv0(mod 4) \vee k ^{2}\equiv1(mod 4)}\), więc nie istnieje \(\displaystyle{ b ^{2}\equiv3(mod 4)}\)

Awatar użytkownika
emator2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 4 lis 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 51° 08'N 22° 50'E
Podziękował: 10 razy

VII Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: emator2 » 3 lut 2009, o 17:50

Jakiś pomysł na 5? Lewa strona ładnie wychodzi, ale prawa jakoś mi się nie chce rozłożyć.

Awatar użytkownika
limes123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 666
Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustroń
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 93 razy

VII Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: limes123 » 3 lut 2009, o 17:59

\(\displaystyle{ L=\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{i}-2\sum_{i=1}^{50} \frac{1}{2i}=\sum_{i=51}^{100} \frac{1}{i}}\)

Awatar użytkownika
emator2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 4 lis 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 51° 08'N 22° 50'E
Podziękował: 10 razy

VII Podkarpacki Konkurs Matematyczny

Post autor: emator2 » 3 lut 2009, o 18:37

Dzięki

ODPOWIEDZ