Matematyka.pl

Udowodnij:

\(\displaystyle{ S_{2}+\frac{1}{3}* S_{6}+ \frac{1}{5}*S_{10}+...+ \frac{1}{2n-1}* S_{4n-2}= S_{2n}}\)

proszę zrobić mi to zadanie jak naszybciej.

z wzoru na sumę w ciągu arytmetycznym:
\(\displaystyle{ \frac{(a _{1} +a _{2}) }{2} *2 + \frac{1}{3} * \frac{(a _{1} +a _{6} )}{2} * 6+...+ \frac{1}{2n-1} * \frac{a _{1}+a _{4n-2} }{2}+(4n-2) = \frac{a _{1} +a _{2n} }{2} *2n}\)

\(\displaystyle{ a _{1} +a _{2} +a _{1} +a _{6}+...+a _{1} +a _{4n-2} =(a _{1} +a _{2n} )*n}\)
\(\displaystyle{ a _{2}+a _{6} +...+a _{4n-2}}\) jest sumą ciągu arytmetycznego o n wyrazach, którą możemy wyrazić wzorem: \(\displaystyle{ \frac{a _{2} +a _{4n-2} }{2} *n}\)
podstawiając do równania mamy:
\(\displaystyle{ n* a _{1} +\frac{a _{2} +a _{4n-2} }{2} *n=(a _{1} +a _{2n} )*n}\)
\(\displaystyle{ \frac{a _{2} +a _{4n-2} }{2}=a _{2n}}\) a to równanie wynika ze średniej arytmetycznej
a więc równość udowodniona, oczywiście o ile mam rację:)