Matematyka.pl

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz cosinus miary kąta utworzonegoprzez dwie sąsiednie ściany boczne.

pomocy

Jest to kąt jaki tworzą ze sobą dwie wysokości ścian bocznych poprowadzone ze wspólnej dla tych ścian krawędzi bocznej do dwu wierzchołków podsatwy nie leżących na tej wspólnej krawędzi.

\(\displaystyle{ h_b}\) - wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawedzi podstawy,
Z tw.Pitagorasa:
\(\displaystyle{ h_b^2+( \frac{1}{2}a)^2=(2a)^2 \\ ... \\ h_b= \frac{a\sqrt{15}}{2}}\)

x- wysokość ściany bocznej poprowadzona do krawedzi bocznej
Z równości pól ściany bocznej:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah_b= \frac{1}{2} 2a x \\... \\ x= \frac{h_b}{2}= \frac{a\sqrt{15}}{4}}\)

Z tw.cosinusów:
\(\displaystyle{ a^2=x^2+x^2-2 x x cos\alpha}\)
skąd po podstawieniu za x wcześniej wyznaczonej wartości, można policzyć \(\displaystyle{ cos\alpha}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem z treści zadania.