Matematyka.pl

Tak wiec mam kolo w piatek ... i 3ch zadanek nie do konca rozumie ...

1. Sprawdzisc czy relacja R na zbriorze liczb rzeczywistych
xRy x jest różne od 10
jest symetryczna , zwrotna , przechodnia

2. Udowodnic ze zbior tych wszystkich elementow grupy G , z ktorych kazdy jest przemienny z dowolnym elementem z G , jest podgrupą G .

3. Udowodnic ze jądro homomorfizmu h: G --> H jest podgrupą niezmienniczą .

Siedzialem nad tym troszke ... no ale niestety mam niepelne notaki i nic nie udalo mi sie wymyslec ...

Jeśli chodzi o zad.2) to należy wykazać, że zbiór takich elemetów jest zawarty w grupie G, następnie wykazać, że jest to grupa (3 warunki).
3) Na początek trzeba wykazać, że jest podgrupą, tak jak wyżej. Następnie, że jest niezmienniczą (wolę określenie dzielnik normalny grupy). Aby to wykazać, korzystam z tw.
Podgrupa H grupy G jest dzielnikiem normalnym grupy G wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek
\(\displaystyle{ \forall_{a\in G}\forall_{h\in H}\ aha^{-1}\in H}\)
Niech \(\displaystyle{ H=ker\:h=\{g\in G:\;h(g)=e\}}\)
Niech g dowolny element z G i \(\displaystyle{ h_{1}}\) dowolny element z H, wtedy:

\(\displaystyle{ h(gh_{1}g^{-1})=h(g)h(h_{1})h(g^{-1})=h(g)eh(g^{-1})=h(gg^{-1})=h(e)=e\in H}\)
Wszystkie przejścia na mocy tego że h jest homomorfizmem.

[ Dodano: Czw Cze 23, 2005 7:50 pm ]
dopiero teraz zauważylam że jest konflikt oznaczeń, ale to już możesz zminić sam/a

1) nie, nie , nie

ja mam takie glupie pytanie czy jak relacja jest symetryczna i przechodnia to czy musi byc zwrotna
taki dowod:
jesli aRb to bRa (symetria)
jesli aRb i bRa to aRa (przechodniosc)

poprawny on jest czy nie?

tak

Ptolemeusz nie masz racji.
Jak relacja jest symetryczna i przechodnia to wcale niemusi być zwrotna.
kontrprzykład:
zbiór X={1,2,3}
relacja R={(1;2),(2;1),(1;1),(2;2)}

ta relacja w X je symetryczna i przechodnia ale niejest zwrotna bo brakuje w niej pary (3;3).
A tak wogóle to gdyby tak było to poco definiowalibyśmy relacje równoważności jako zwrotną,symetryczną i przechodnią?
pozdro

dobra, a z dowodem co jest nie tak?
edit: no i pewnie jestem nie na czasie, ale co to za równość z R? W mojej książce (rocznik '66, z błędami i nieścisłościami) stoi napisane, że relacja jest pojęciem pierwotnym i absolutnie nie ma mowy o tym, że jest to zbiór uporządkowanych par.

z dowodem jest to nie tak, ze wychodzimy od blednego zalozenia, ze aRb. moze sie tak zdarzyc, ze a nie bedzie w relacji z zadnym b. trzeba patrzec na kwantyfikatory. przy zwrotnosci jest ogolny.

a co z drugim pytaniem?

celem zwiekszenia stabilnosci teorii najlepiej ograniczyc ilosc pojec pierwotnych do minimum. a tu jak widac to sie da zrobic. mozna zdefiniowac relacje jedynie za pomoca pojec "zbior" i "przynaleznosc do zbioru".

no i jeszcze chyba uporządkowanie zbioru, nie?

uporzadkowanie mozna zdefiniowac jedynie za pomoca pojec "zbior" i "przynaleznosc". patrz definicja pary wedle Kuratowskiego.