Matematyka.pl

Wykaz, ze kazda liczba naturalna n ma wielokrotnosc zapisywana wyłacznie za pomoca
zer i siódemek. Wskazówka: rozwaz reszty z dzielenia przez n liczb 7, 77, 777, . . . .

Rozważ n takich liczb. Albo co najmniej jedna z nich jest podzielna przez n, albo dwie dają taką samą resztę z dzielenia przez n. Wtedy sprawdź ich różnicę.

niestety ta podpowiedz za duzo mi nie mowi moge prosic o jakies dokladniejsze wyjasnienie?

Jeśli rozważysz n kolejnych liczb postaci 7, 77, 777, 7777, itp to dla liczby n reszty z dzielenia tych liczb należą do zakresu \(\displaystyle{ \{0,1,2,\ldots,n-1\}}\)
Jeśli któraś z tych liczb daje resztę z dzielenia przez n równą 0 to jest to poszukiwana liczba.
Jeśli żadna nie daje reszty 0 to mamy do czynienia ze zbiorem n-elementowym liczb z zakresu \(\displaystyle{ \{1,2,\ldots,n-1\}}\) Wobec tego istnieją jakieś liczby \(\displaystyle{ j,k}\) (złożone z samych 7) które dają tę samą resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\)
Wobec tego ich róznica \(\displaystyle{ |j-k|}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\)