Matematyka.pl

Ile wynosi liczba funkcji monotonicznych określonych na zbiorze {1,2,3} o wartościach w zbiorze {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}?

W przypadku funkcji ściśle monotonicznych, czyli rosnących lub malejących, jeśli wybierzemy 3 różne liczby z podanego zbioru wartości jednoznacznie da się je uporządkować malejąco lub rosnąco, 3 liczby możemy wybrać na
\(\displaystyle{ {10 \choose 3}}\) sposobów. To jeszcze należy pomnoży przez 2 ze względu na to , że mogą być malejące lub rosnące.
W przypadku funkcji monotonicznych elementy mogą sie powtarzać, więc należy zastosować kombinaje z powtórzeniami, liczba 3 elementowych kombinacji z powtórzeniami zbioru 10 elementowego to
\(\displaystyle{ {10 + 3 -1 \choose 3}}\). Teraz należy jeszcze uwzględnić , że funkcje mogą być niemalejące lub nierosnące, tak więc mnożąc przez dwa otrzymujemy to co chcemy z wyjątkiem sytuacji , które się dublują, a będzie tak gdy funkcja będzie stała, takich funkcji stałych jest 10.
Czyli
\(\displaystyle{ {10 + 3 -1 \choose 3} 2 -10}\)

Heh wlasnie chcialem za prosto z 10 nad 3 razy dwa :C
dzieki