Matematyka.pl

Mam problem z 2 zadaniami optymalizacyjnymi..

1. na dwusiecznej kąta prostego trójkąta prostokątnego o wierzchołkach A(0,0), B(3,0), C(0,3) znajdź taki punkt P, aby suma kwadratów odległości punktu P od wierzchołków trójkąta była najmniejsza.

2. Na paraboli o równaniu \(\displaystyle{ y=x ^{2}}\) znajdź taki punkt P, aby kwadrat odległości punktu A(3,0) od punktu P był najmniejszy z możliwych.

proszę o pomoc..

Zad. 1
Niech P ma współrzędne (x,y)
skoro punkt P leży na dwusiecznej kąta prostego danego trójkąta, to należy do prostej o równaniu y=x.
zatem P(x,x)
obliczamy kwadraty odległości punktu P od wierzchołków trójkąta:
\(\displaystyle{ PA ^{2}= x^{2}+x^{2}=2x^{2}}\)
\(\displaystyle{ PB ^{2}= x^{2}+(3-x)^{2}=2x^{2}-6x+9}\)
skoro P należy do dwusiecznej kąta prostego, to PC=PB.

zatem \(\displaystyle{ PA ^{2}+ PB ^{2}+ PC ^{2}= 2x^{2}+ 2(2x^{2}-6x+9)= 6x^{2}-12x+18}\)
dana funkcja ma minimum dla \(\displaystyle{ x=1}\)

zatem P(1,1)

Zadanie 2 w sensie techniki rozwiązywania jest analogiczne do porzedniego, tylko, że teraz \(\displaystyle{ P(x,x ^{2}), \quad d=:|PA|= \sqrt{(x-3) ^{2} +x ^{2} }}\). Wiemy, że d jest najmniejsza, gdy liczba podpierwiastkowa jest najmniejsza, a powinna nim być pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli pod pierwiastkiem.
Sądzę, że powinno "wyjść" \(\displaystyle{ x=\frac{3}{2} \ i \ P( \frac{3}{2},\frac{9}{4})}\).

koreczek pisze:Zad. 1

Niech P ma współrzędne (x,y)

skoro punkt P leży na dwusiecznej kąta prostego danego trójkąta, to należy do prostej o równaniu y=x.

zatem P(x,x)

Jak pokazać że dwusieczna w tym przypadku jest zawarta w prostej wyrażonej tym właśnie wzorem?

Prosta o równaniu y=x jest nachylona pod kątem 45 stopni, wiec jest to dwusieczna tego kata(bo kat ma swoj "start" w punkcie 0,0)