Matematyka.pl

Witam mam prosbe o rozwiaznie tego zadania:

zadanie 7.

Prosta przechodzaca przez punkt \(\displaystyle{ A}\) przecina przekatna \(\displaystyle{ BD}\) rownolegloboku \(\displaystyle{ ABCD}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\), bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ F}\) i prosta \(\displaystyle{ DC}\) w punkcie \(\displaystyle{ G}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ |EA|^2 = |EF| |EG|}\)

Zadanie typu MATURALNEGO! Prosta przechodzaca przez...
Popracuj nad nazywaniem tematów.
Nad zapisem też.
Szemek

Zauważ, że trójkąty \(\displaystyle{ ABE}\) i \(\displaystyle{ GDE}\) są podobne (kąty naprzemianległe i wierzchołkowe).
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{|AE|}{|EG|}=\frac{|EB|}{|DE|}}\)
Podobnie \(\displaystyle{ BFE}\) i \(\displaystyle{ DAE}\) są podobne (też kąty wierzchołkowe i naprzemianległe).
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{|EF|}{|AE|}=\frac{|EB|}{|DE|}}\)

Porównując te dwa równania wychodzi od razu, że:
\(\displaystyle{ \frac{|AE|}{|EG|}=\frac{|EF|}{|AE|}}\)
\(\displaystyle{ |AE||AE|=|EF||EG|}\)

c.n.d.

Od siebie mogę poradzić, że bardzo często, kiedy trzeba w geometrycznym zadaniu wykazać, że \(\displaystyle{ a b = c d}\), to opłaca się przekształcić do \(\displaystyle{ \frac{a}{c}=\frac{d}{b}}\). A takie stosunki najczęściej da się przez jakieś podobieństwo zrobić. To zadanie idealnie to ilustruje