Strona 1 z 10

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 22 mar 2008, o 13:17
autor: enigm32
Za tydzień etap powiatowy. Kto bierze udział?
Macie może jakieś ciekawe zadanka z tematu wiodącego (w tym roku: Wartość bezwzględna liczby) lub zadania z lat poprzdnic. Interesuje mnie głównie poziom drugi. Piszcie w ogóle Wasze opinie na temat tego konkursu. Pozdrawiam

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 25 mar 2008, o 20:13
autor: Bastuś
Biorę udział w tym konkursie na poziomie pierwszym. Kilka zadań z poprzednich lat z którymi mam problemy:
IV PKM, poziom I, etap powiatowy:
Pan Klewer na pytanie, jaki jest numer jego biletu odpowiedział: "Każde dwie cyfry numeru mojego biletu są różne. Jeżeli wszystkie sześć dwucyfrowych liczb, które można otrzymać z cyfr numeru zsumujemy, to połowa otrzymanej sumy jest numerem mojego biletu". Jaki jest numer biletu Klewera?
(Wychodzą mi tu jakieś sprzeczności).
VII PKM, poziom pierwszy, powiat:
Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x(y+z)=5\\y(z+x)=10\\z(x+y)=13\end{cases}}\)
VII PKM, poziom I, rejon:
Wykaż, że istnieje liczba postaci:
\(\displaystyle{ 200720072007...20070..0}\) podzielna przez\(\displaystyle{ 2008}\).
? PKM, I poziom, ?:
Wykaż, że nie istnieje trójkąt o wysokościach 1, 2, 3.

Może najpierw prosiłbym tylko o jakąś podpowiedź dotyczącą rozwiązania tych zadań, a potem gdy dalej nie będę wiedział jak to zrobić to poproszę o pełne rozwiązanie.

Orientuje się ktoś może ile wynosi zazwyczaj próg do poszczególnych etapów?
Bo wciąż mam nadzieję na awans do rejonowego, bo finał to już dla mnie byłby kosmos.

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 25 mar 2008, o 21:10
autor: enigm32
Z tym Kleverem przelicz jeszcze raz, może sie gdzies pomyliłes w rachukach, bo to nie jest trune.

\(\displaystyle{ \begin{cases} xy+xz=5\\yz+xy=10 \\xz+yz=13\end{cases}}\) - dodajemy wszystkie równania
\(\displaystyle{ 2xy+2yz+2zx=28 xy+xyz+zx=14}\) z tego mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} xy+yz=14-zx\\yz+zx=14-xy \\ zx+xy=14-yz\end{cases}}\)
Podstawiasz do początkwoego równania, potem mnożysz wszytskie stronami i masz ile wynosi xyz (dwa przypadki), wracasz do tego układu, podsatwiasz i masz juz równania z jedna niewiadomą. Pamiętam, ze ja to tak rozwiązałem rok temu.

Co o tej liczby postaci, to wskazówka: skorzystaj zasady szufladkowej Dirichleta

W trójkącie załóż hipotetycznie, ze taki trójkąt o takich wysokościach istnieje, wyraź pole tego trójkąta na trzy sposby: za pomocą trzech wysokości i trzech podstaw (wprowadź np a,b,c). Teraz wykorzystując odpwoiednie równosci dojdziesz do sprzeczności z nierównością trójkąta, co dowodzi tego ze taki trójkąt nie istnieje.

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 26 mar 2008, o 16:36
autor: Ades
mógłby ktoś pokazać zakończenie tego równania bo doszedłem do tego że yz=9 xz=4 xy=1 i "umarłem"

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 26 mar 2008, o 16:59
autor: enigm32
Pomnóż teraz przez siebie te trzy równości i otrzymasz \(\displaystyle{ (xyz)^2=36 xyz=6 xyz=-6}\)
No i teraz podstawiasz po kolei za xy, za yz, za zx otzrymując równania z jedna niewiadomą.

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 29 mar 2008, o 14:14
autor: GRZECH
No i po konkursie, po pierwszym etapie.

A zadania był takie (II stopień):

1. W kartezjańskim układzie współrzędnych zaznacz zbiór wszystkich
punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają równanie:
\(\displaystyle{ \left| y-1 \right| + \left| y+1 \right| +2 \left| x \right| = 4}\).

2. Wykaż, że jeśli stosunek rozwiązań rzeczywistych równania kwadratowego:
\(\displaystyle{ a x^{2} + bx + c=0}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) , to: \(\displaystyle{ 3b^{2}=16ac.}\)

3. Usuń niewymierność z mianownika: \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[6]{2}+ \sqrt[4]{2} + \sqrt[3]{2} }}\).

4. W trapezie ABCD, o podstawach AB i CD, punkt O jest punktem wspólnym przekątnych.
Oblicz pole trapezu wiedząc, że pole trójkąta ABO jest równe p, a pole trójkąta CDO jest równe r.

5. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba: \(\displaystyle{ \left[ \frac{n+4}{2} \right] +3n-2 (-1)^{n}}\),
gdzie [a] oznacza największą liczbę całkowitą nie większą niż a, jest podzielna przez 7.


Co do zadania trzeciego to mam dobry wynik (sprawdzone na kalkulatorze i w Derive'ie, wygląda on tak :P:

\(\displaystyle{ \frac{2^{5/6}(2^{2/12}+1-2^{1/12})(2^{4/12}+1-2^{2/12})(2^{1/3}+1-2^{2/3})(2^{2/3}-1)(2^{8/3}+2^{4/3}+1)}{30}}\)

Miałem jeszcze napisać do sprawdzających: Have a nice day! ale się nie zmieściło :P.

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 29 mar 2008, o 14:52
autor: enigm32
Niech ktoś napisze treść zadań z I poziomu.

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 29 mar 2008, o 18:26
autor: Bastuś
1. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ a+b\geqslant1}\) i \(\displaystyle{ a>0}\) i \(\displaystyle{ b>0}\), to \(\displaystyle{ a^{4}+b^{4}\geqslant\frac{1}{8}}\).
2. Dwa trójkąty równoboczne mają wspólny środek i boki równoległe. Pole jednego trójkąta jest dwa razy większe od pola drugiego, a bok mniejszego trójkąta ma długość 1. Jaka jest odległość między równoległymi bokami?
3. Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a, b, c}\) są długościami boków trójkąta, to:
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}}\)

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 29 mar 2008, o 18:28
autor: wm155
Proszę:



Co do samych zadań, to jak innym poszło? Ja jestem zadowolony, raczej nie przewiduje większych strat w punktach nigdzie poza 1 zadaniem ( wydaje mi się, że brakuje paru ważnych komentarzy) ;]

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 29 mar 2008, o 18:38
autor: Bastuś
A w zadaniu drugim uwzględniłeś dwa przypadki?
Jaki Ci wyszedł w tym zadaniu wynik?
Jak zrobiłeś 1 i 3?

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 29 mar 2008, o 18:56
autor: wm155
Może to głupia odpowiedź, ale jeśli to w jakiś sposób pomoże, to w zadaniu drugim wyszedł mi wynik, który zawiera \(\displaystyle{ sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ sqrt{3}}\). Nie pamiętam dokładnie w jakim ustawieniu ;p

1 i 3 zrobiłem.

1.: trochę chaotycznie i dziwnie, więc nie napiszę Ci dokładnie jak.

3.: O ile dobrze pamiętam to
założyłem, że a

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 29 mar 2008, o 19:02
autor: Bastuś
No to mi w drugim wyszedł troche bardziej skomplikowany wynik, ale dodatkowo rozważyłem tylko jeden przypadek.

Co to znaczy, że równanie jest symetryczne?

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 29 mar 2008, o 19:06
autor: enigm32
Jeżeli rozwiązaniem równania jest para liczb \(\displaystyle{ \begin{cases} x=a\\y=b \end{cases}}\), to rozwiązaniem jest również para \(\displaystyle{ \begin{cases} x=b\\y=a\end{cases}}\) w przypadku dwóch zmiennych, a dla większej ilości zmeinnych, roziązaniem jest poprostu każda permutacja danego rozwiąania.

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 29 mar 2008, o 19:08
autor: wm155
Wedle mojej wiedzy chodzi ogólnie o to, że jeżeli byś zamienił miejscami np. a i b i c w równaniu czy też nierówności, to ogólnie nie zmieni się postac równania czy też nierówności, a raczej jej rozwiązań

VIII Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Lei

: 29 mar 2008, o 19:10
autor: enigm32
wm155 pisze:Wedle mojej wiedzy chodzi ogólnie o to, że jeżeli byś zamienił miejscami np. a i b i c w równaniu czy też nierówności, to ogólnie nie zmieni się postac równania czy też nierówności, a raczej jej rozwiązań
Dokładnie, i stąd właśnie ten wniosek, który napisałem wcześniej.