Matematyka.pl

Wykaż,że

W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokatną dzieli ją na 2 części w taki sposób, że jest dla tych części średnią geometryczną.

Zauważ, że gdy poprowadzisz tę wysokość, to otrzymasz dwa trójkąty prostokątne, które są do siebie podobne. Z ich podobieństwa mamy następującą równość (przez \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) oznaczam długości odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną wysokość \(\displaystyle{ h}\)):

\(\displaystyle{ \frac{h}{a}=\frac{b}{h}}\)
\(\displaystyle{ h^2=a\cdot b}\)
\(\displaystyle{ h=\sqrt{a\cdot b}}\),

co było do wykazania.


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Albo inny sposób (tylko ciut dłuższy ):
Stosując twierdzenie Pitagorasa dwukrotnie: dla małych trójkątów i dla całego dużego trójkąta otrzymasz (oznaczenia takie jak przyjął Tomek):
\(\displaystyle{ (a+b)^{2}=2h^{2}+a^{2}+b^{2}\\2ab=2h^{2}\\h=\sqrt{ab}}\)