Matematyka.pl

Okrąg o środku \(\displaystyle{ J}\), dopisany do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boku \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\) oraz do prostej \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Punkt \(\displaystyle{ Q}\) jest rzutem prostokątnym punktu \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ AJ}\). Wykazać, że punkty \(\displaystyle{ D,E,Q}\) leżą na jednej prostej.


Zadanie mam co prawda rozwiązane, ale odnoszę wrażenie, że je sobie udziwniłem;p Kombinowałem z kątami w okręgach ale myślę, że da się łatwiej. Jak ktoś ma jakiś pomysł to będę wdzięczny jak go przedstawi:D

nie wiem czy to jest ładniejsze, ale przedstawię:

Niech punkt P będzie punktem przecięcia się prostych ED i AJ, wykażę, że punkt P pokrywa się z punktem Q, oznaczmy:

\(\displaystyle{ \sphericalangle BAC=\alpha}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle ABC=\gamma}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle BCA=\beta}\)

\(\displaystyle{ \sphericalangle JBD=90- \frac{1}{2}\gamma}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle AJE= PJE =90- \frac{1}{2}\alpha}\)
\(\displaystyle{ \sphericalangle DJE=\beta}\)
ponieważ trójkąt DJE jest równoramienny, to:
\(\displaystyle{ \sphericalangle DEJ=PEJ=90- \frac{1}{2}\beta}\)
rozważając kąty w trójkącie PJE, otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ \sphericalangle JPE=90- \frac{1}{2}\gamma=\sphericalangle JBD}\)
czyli na czworokącie BPDJ możemy opisać okrąg
z tego wynika, że BPJ=BDJ=90, czyli punkt Q pokrywa się z punktem P, co kończy dowód

Ładnie zadanie troche odgrzebane, wiec nie pamietam dokladnego dowodu, ale tez rozwazalem punkt P tylko w dwoch przypadkach (w zaleznosci od tego, po ktorej stronie punktu Q lezal).