Matematyka.pl

Dane jest równanie postaci (cosx-1)(cosx+p+1)=0, gdzie \(\displaystyle{ p\in R}\) jest parametrem.
a) Dla p=-1 wypisz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału .
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których dane równanie ma w przedziale \(\displaystyle{ }\) trzy różne rozwiązania.

a) Dla \(\displaystyle{ p=-1}\) mamy \(\displaystyle{ \cos x-1=0}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=0}\), czyli w przedziale \(\displaystyle{ }\) mamy dwa rozwiązania \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}}\)
b) Ponieważ zbiorem wartości funkcji kosinus jest przedział i równanie ma mieć różne pierwiastki, to \(\displaystyle{ p+1\neq -1}\) (w przeciwnym razie równanie miałoby jeden pierwiastek x=0), więc warunki zadania spełniają te wartości parametru, dla których \(\displaystyle{ p+1\in(-1,1>}\), tj. \(\displaystyle{ p\in(-2,0>}\).