Matematyka.pl

Długości boków czworokąta, w którym można wpisać kolo i na którym można opisać koło, są równe a, b, c, d. Udowodnij, że pole \(\displaystyle{ S}\) tego czworokąta wyraża się wzorem \(\displaystyle{ S= \sqrt{abcd}}\).

Jak to rozwiązać???

Jest pewien ciekawy wzór na pole czworokąta \(\displaystyle{ P_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^{2}\frac{\alpha+\gamma}{2}}}\), gdzie p=(a+b+c+d)/2. Ponieważ czworokąt można wpisać w okrąg, to \(\displaystyle{ \alpha+\gamma=180^{o}}\), więc \(\displaystyle{ abcd\cos^{2}\frac{\alpha+\gamma}{2}=0}\) Skoro czworokąt można opisać na okręgu, to a=c i b=d, więc (p-a)(p-b)(p-c)(p-d)=abcd. Gdy podstawimy to do pierwszego wzoru otrzymamy \(\displaystyle{ P_{ABCD}=\sqrt{abcd}}\)

Wyprowadzenie tego wzoru jest dość długie, ale jeśli chcesz, to mogę Ci je napisać

prawie wszystko rozumiem ale mam pytanie: skoro można czworokąt opisać na okręgu to: a+c=b+d czy to nie było tak???

Masz rację, to taka mała pomyłka. Wynik jest dobry, tylko ja źle to napisałam.

ok! dzięki już wszystko wiem! pzdr

Witam mam tu o to takie zadanko:

Na czworokącie ABCD, w którym |AB|=|BC|, |AD|=\(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\), |DC|=\(\displaystyle{ 3-\sqrt{3}}\) można opisać okrąg. Wiedząc, że przekątna AC ma długość \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}}\). oblicz pole tego czworokąta.