Matematyka.pl

Witam
Mam takie zadanko:
dla jakiego parametru m równanie
\(\displaystyle{ (m-1)x^2 - (m^2 + 1)x + m^2 + m = 0}\)
ma wszystkie pierwiastki całkowite?

jak je rozwiązać?

Rozpatrzmy przypadek, gdy \(\displaystyle{ m=1}\). Wtedy oczywiście pierwiastek jest wymierny (wtedy x=1). Jedną wartość już mamy.

Ze wzorów Viete'a mamy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2=\frac{m^2+1}{m-1}\\x_1x_2=\frac{m^2+m}{m-1} \end{cases}}\)

Rozważmy różnicę \(\displaystyle{ x_1x_2-x_1-x_2}\):

\(\displaystyle{ x_1x_2-x_1-x_2=\frac{m^2+m}{m-1}-\frac{m^2+1}{m-1}=\frac{m-1}{m-1}=1}\), czyli

\(\displaystyle{ (x_1-1)(x_2-1)=2}\).

Pozostaje Ci tylko rozwiącać to równanie w liczbach całkowitych, oraz podstawić do wzorów Viete'a potem... Dwójka ma 4 dzielniki: \(\displaystyle{ \{\pm 1, \pm 2\}}\)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

czyli wyjdzie taki potworek:
\(\displaystyle{ x_1=3 \land x_2=2}\) lub \(\displaystyle{ x_1=2 \land x_2=3}\) lub \(\displaystyle{ x_1 =0 \land x_2=-1}\) lub \(\displaystyle{ x_1=-1 \land x_2= 0}\)
?

Tak, dokładnie.

Teraz wróć do wzorów Viete'a, podstaw otrzymane wartości, a uzyskasz szukane wartości parametru \(\displaystyle{ m}\).


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki