Matematyka.pl

1 Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ x_{1},...,x_{n}}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ (x_{1}+x_{2})({x_{2}+x_{3})\cdot...(x_{n-1}+x_{n})(x_{n}+x_{1}) qslant 2^n\cdot x_{1}x_{2}\cdot... x_{n}}\)
2.Dana jest liczba naturalna n. Oblicz sumę
\(\displaystyle{ 1\cdot2^1+2\cdot2^2+...+n\cdot2^n}\)

Ad 1. Natychmiast z nierówności Cauchy'ego. Achim mówił o tym na kółku...
Ad 2. Pomnóż przez 2 i odejmij. Było rozwiązywane na kółku przez Achima.

1. do kazdego nawiasu zastosuj srednie arytmetyczna>geometryczna i pieknie wyjdzie

to jak to drugie zro

Hmm, ja też nie znalazłem tamtego rozwiązania, więc może podam jak ja je zrobiłem:
2. \(\displaystyle{ S_n = \sum^{n}_{k=1} k2^{k}}\)
\(\displaystyle{ S_n = 2S_n - S_n = \sum^{n}_{k=1} k2^{k+1} - \sum^{n}_{k=1} k2^{k} = \sum^{n+1}_{k=2} (k-1)2^{k} - \sum^{n}_{k=1} k2^{k} = \sum^{n+1}_{k=2} k2^{k} - \sum^{n+1}_{k=2} 2^{k} - \sum^{n}_{k=1} k2^{k} = (n+1)2^{n+1} - \sum^{n+1}_{k=1} 2^k = (n-1)2^{n+1} + 2}\)