Matematyka.pl

W czworokącie wypukłym ABCD dane są: \(\displaystyle{ |AB|=2, |BC|= \sqrt{3}, |CD|=3, |DA|=4 ,\sphericalangle DAB = \frac{\pi}{3}}\). Oblicz pole tego czworokąta.

Może tak:
Rozważmy trójkąt ABD.
ma on długości boków 2 i 4 i kąt między nimi 60 stopni - łatwo zauważyć, że jest to trójkąt prostokątny (połówka trójkąta równobocznego) - przyprostokątne \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\) (tą drugą łatwo wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa) - zatem jego pole wynosi
\(\displaystyle{ P_A_B_D=\frac{2\sqrt{3} 2}{2}=2\sqrt{3}}\)

Teraz zastanówmy się nad trójkątem BCD...

Ma on długości boków: \(\displaystyle{ 3, \sqrt{3}, 2\sqrt{3}}\) (ten ostatni to jedna z przyprostokątnych w trójkącie ABD).

Jest on prostokątny, ponieważ:
\(\displaystyle{ 3^{2} + (\sqrt{3}) = (2\sqrt{3})^{2}}\)

Zatem jego pole wynosi:
\(\displaystyle{ P_B_C_D = \frac{3\cdot\sqrt{3}}{2}}\)

Pole całego czworokąta jest równe sumie pól tych trójkątów:
\(\displaystyle{ P_A_B_C_D=P_A_B_D+P_B_C_D=2\sqrt{3}+\frac{3\cdot\sqrt{3}}{2}=\frac{7\cdot\sqrt{3}}{2}}\)

jeśli się nie pomyliłem w rachunkach...