Matematyka.pl

Długości boków w trójkącie to kolejne liczby naturalne. Największy kąt jest dwa razy większy od najmniejszego. Należy znaleść długości boków
Z góry dziękuję za wszelką pomoc...

P.S.
jeszcze jedno zadanie znalazłem:
Trójkąt równoboczny (ABC) wpisano w okrąg. Na łuku AB (krótszym) znajduje się punkt P. Należy udowodnić, że |AP| + |BP| = |CP|.

Na początek podpowiedź:
1) oznacz boki jako n, n+1, n+2
2) kąty odpowiednio: naprzeciwka n boku n znajduje się kąt α , naprzeciwko boku n+2 kąt 2α a naprzeciwko n+1 kąt 180 - 3α
2) korzystasz z tw. sinusów dwa razy

olazola pisze:2) korzystasz z tw. sinusów dwa razy

na początku mam przyrównać do siebie stosunek n/sin α i n+2/sin2α ?? (dobrze to robię wogóle?)

Tak, a druga proporcja to:
\(\displaystyle{ \large\frac{n}{\sin\alpha}=\frac{n+1}{\sin\(180^{\circ}-3\alpha\)}}\)
No właśnie, zapomniałam 3 przy alfa, już poprawiam.

[ Dodano: Sro Cze 08, 2005 11:25 pm ]
Jak już jestem przy głosie, to do drugiego zadania będzie przydatne tw. Ptolemeusza.

[ Dodano: Czw Cze 09, 2005 5:39 pm ]
Na prośbę autora zadania podaję dokładniejsze rozw:
\(\displaystyle{ \frac{ n + 2 }{ \sin 2\alpha}\,=\,\frac{n}{ \sin }}\)
\(\displaystyle{ n\sin 2\alpha=(n+2)\sin\alpha\\2\sin\alpha\cos\alpha-(n+2)\sin\alpha=0\\sin\alpha\(2n\cos\alpha-n-2\)=0}\)
\(\displaystyle{ 2n\cos\alpha=n+2 \sin\alpha=0\\\cos\alpha=\frac{n+2}{2n}\ \ =0\ \ =180^{\circ}}\)
0 i 180 odpadają, gdyż mówimy o kątach trójkąta.

Druga proporcja:
\(\displaystyle{ \frac{n}{\sin\alpha}=\frac{n+1}{\sin\(180^{\circ}-3\alpha\)}\\n\sin 3\alpha=(n+1)\sin\alpha\\sin\alpha\(3n-4n\sin^2\alpha\)-(n+1)\sin\alpha=0\\sin\alpha\(3n-4n\sin^2\alpha-n-1\)=0\\2n-4n\sin^2\alpha-1=0}\) tutaj taka sama sytuacja z sin jak poprzednio
\(\displaystyle{ 2n-4n\(1-\cos^2\alpha\)-1=0\\-2n+4n\cos^2\alpha-1=0\\-2n+4n\cdot\frac{\(n+2\)^2}{4n^2}-1=0\\-n^2+3n+4=0\\n_{1}=-1\ \ n_{2}=4}\)
Stąd mamy 4,5,6