Matematyka.pl

Mam zadanie. Pewnie banalne jak dla Was. Jednak ja mam problem z zapisywaniem faktów w teorii miary. Zadanie brzmi!

ZADANIE 1.9

Dane są\(\displaystyle{ \sigma}\) algebry podzbiorów przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R }}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{1}=\sigma(\{(a,b); a,b \in \mathbb{R}, a<b}),}\)


\(\displaystyle{ \sigma_{2}=\sigma(\{[a,b]; a,b \in \mathbb{R}, a<b}),}\)


\(\displaystyle{ sigma_{3}=sigma({[a,b); a,b in mathbb{R}, a<b}),}\)


\(\displaystyle{ \sigma_{4}=\sigma(\{(a,b]; a,b \in \mathbb{R}, a<b}),}\)


\(\displaystyle{ \sigma_{5}=\sigma(\{(-\infty,a); a \in \mathbb{R}}),}\)


\(\displaystyle{ \sigma_{6}=\sigma(\{(-\infty,a]; a \in \mathbb{R}}),}\)


\(\displaystyle{ \sigma_{7}=\sigma(\{(a, +\infty); a \in \mathbb{R}}),}\)


\(\displaystyle{ sigma_{8}=sigma({[a, +infty); a in mathbb{R}),}\)


\(\displaystyle{ \sigma_{9}=\sigma(\{(p, q); p,g \in \mathbb{Q}, p<g})}\)


\(\displaystyle{ \sigma_{10}=\sigma(\{[p,g]; p,q \in \mathbb{Q}, p<q}),}\)


\(\displaystyle{ sigma_{11}=sigma({[p,q); p,q in mathbb{Q}, p<q})}\)


\(\displaystyle{ \sigma_{12}=\sigma(\{(p,q]; p,q \in \mathbb{Q}, p<q})}\)


\(\displaystyle{ \sigma_{13}=\sigma(\{(-\infty,p); p \in \mathbb{Q}})}\)


\(\displaystyle{ \sigma_{14}=\sigma(\{(-\infty,p]; p \in \mathbb{Q}})}\)


\(\displaystyle{ \sigma_{15}=\sigma(\{(p, +\infty); p \in \mathbb{Q}})}\)


\(\displaystyle{ sigma_{16}=sigma({[p, +infty); p in mathbb{Q}})}\)


Dla każdych \(\displaystyle{ 1 \leq i < j \leq 16}\) udowodnij że \(\displaystyle{ \sigma_{i}=\sigma_{j}}\)



Wiem że treść może powodować objawy złości, bo jest dość długa, ale jeśli ktoś umiałby pokazać i fajnie zapisać któreś z przykładów, byłabym wdzięczna.

To zagadnienie z teorii miary jest łatwe aczkolwiek chciałabym mieć fajny dokładny zapis paru warunków.

Dałam to zadanko na forum koła naukowego matematyków na UŚ-iu ale jak wiadomo tutaj jest dużo pisania.

Nic sorki za zbyt długą treść.


Pozdrawiam

Gabby

Pozdrawiam

Pokażmy dla przykładu równość \(\displaystyle{ \sigma_1 = \sigma_2}\). W tym celu wystarczy dowieść, że \(\displaystyle{ [a,b] \sigma_1}\) oraz \(\displaystyle{ (a,b) \sigma_2}\).
Pierwsze należenie jest oczywiste, bo \(\displaystyle{ [a,b] = \bigcup_{n=N_0}^{\infty} ft(a+\frac{1}{n},b -\frac{1}{n} \right)}\), a ponieważ wszystkie przedziały otwarte są w \(\displaystyle{ \sigma_1}\), to ich przeliczalna suma też.
W drugim natomiast mamy: \(\displaystyle{ (a,b) = mathbb{R} / ft( (-infty , a] cup [b, +infty )
ight)}\) oraz \(\displaystyle{ (-\infty , a] = \bigcup_{n=N_0}^{\infty } [-n,a]}\) i \(\displaystyle{ [b,\infty ) = \bigcup_{n=N_0}^{\infty} [b,n]}\), a ponieważ w ostatnich równościach wszystkie przedziały domknięte należą do \(\displaystyle{ \sigma_2}\), to ich przeliczalna suma też, a zatem dopełnienie tych przeliczalnych sum też.

Do ósmego przykładu włącznie resztę robi się analogicznie, tak samo też udowadnia się, że następnych osiem sigma-ciał jest sobie równe. Pozostaje więc wykazać na przykład, że \(\displaystyle{ \sigma_1=\sigma_9}\)

Zawieranie \(\displaystyle{ \sigma_9 \sigma_1}\) jest oczywiste, pokażmy więc zawieranie w drugą stronę, do czego wystarczy pokazać, że \(\displaystyle{ (a,b) \sigma_9}\). Niech \(\displaystyle{ a_n}\) będzie malejącym ciągiem liczb wymiernych zbieżnych do \(\displaystyle{ a}\), zaś \(\displaystyle{ b_n}\) rosnącym ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do \(\displaystyle{ b}\). Mamy wtedy: \(\displaystyle{ (a,b) = \bigcup_{n=N_0}^{\infty} (a_n,b_n)}\), skąd natychmiast wynika teza.

Pozdrawiam.
Qń.