Zbieżność według rozkładu
: 1 mar 2008, o 20:10
Witam,
Przygotowuję się do egzaminu z Rachunku prawdopodobieństwa i robię zadania z poprzednich lat. Mam problem z jednym, następującym:
Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X _{2}, \ldots}\) będą niezależnymi nieujemnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ [0,5]}\). Wykaż, że zmienne losowe
\(\displaystyle{ Z_{n}=n\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}\)
zbiegają według rozkładu i znajdź rozkład graniczny.
Ja rozwiązuję zadanie w ten sposób:
Funkcja charakterystyczna \(\displaystyle{ Z_{n}}\) to:
\(\displaystyle{ \varphi_{Z_{n}}(t)=\mathbb{E}e ^{itZ_{n}} = \mathbb{E}e ^{itn\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}=\varphi_{\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}(tn)=*}\) .
Niech \(\displaystyle{ j}\) będzie takie, ze \(\displaystyle{ X_{j}=\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}\).
Wtedy:
\(\displaystyle{ *=\varphi_{X_{j}}(tn) = \frac{e ^{5itn} -1 }{5itn} \longrightarrow_{n\to } }\)
Co robię źle? Gdyby to zbiegało do funkcji ciągłej w zerze, mógłbym skorzystać z twierdzenia Levy-Cramera i wykazać, że istnieje rozkład graniczny.
Dzięki za pomoc.
Przygotowuję się do egzaminu z Rachunku prawdopodobieństwa i robię zadania z poprzednich lat. Mam problem z jednym, następującym:
Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X _{2}, \ldots}\) będą niezależnymi nieujemnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ [0,5]}\). Wykaż, że zmienne losowe
\(\displaystyle{ Z_{n}=n\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}\)
zbiegają według rozkładu i znajdź rozkład graniczny.
Ja rozwiązuję zadanie w ten sposób:
Funkcja charakterystyczna \(\displaystyle{ Z_{n}}\) to:
\(\displaystyle{ \varphi_{Z_{n}}(t)=\mathbb{E}e ^{itZ_{n}} = \mathbb{E}e ^{itn\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}=\varphi_{\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}(tn)=*}\) .
Niech \(\displaystyle{ j}\) będzie takie, ze \(\displaystyle{ X_{j}=\min(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n})}\).
Wtedy:
\(\displaystyle{ *=\varphi_{X_{j}}(tn) = \frac{e ^{5itn} -1 }{5itn} \longrightarrow_{n\to } }\)
Co robię źle? Gdyby to zbiegało do funkcji ciągłej w zerze, mógłbym skorzystać z twierdzenia Levy-Cramera i wykazać, że istnieje rozkład graniczny.
Dzięki za pomoc.