Pierścienie przemienne
: 5 cze 2005, o 15:57
Udowodnij ze jesli w dowolnym pierscieniu spelniona jest tozsamosc x^3=x to pierscien ten jest przemienny
Zadanie sprowadza się do udowodnienia tego że jeśli \(\displaystyle{ x^2=e}\), to pierścień jest przenienny, a wynika to z tego, że
\(\displaystyle{ x^3=x\\x\cdot x\cdot x=x\\x\cdot x\cdot x\cdot x^{-1}=x\cdot x^{-1}\\x\cdot x=e}\)
bo \(\displaystyle{ \forall_{x\in A}\ x\cdot x^{-1}=e}\) w każdym pierścieniu A
Niech A - dowolny pierścień \(\displaystyle{ x,y\in A}\)
\(\displaystyle{ (xy)^2=e\\xyxy=e\\x^2yxy=x\\yxy=x\\y^2xy=yx\\xy=yx}\)
W powyższych przejściach stosowałam mnożenie lewostronne.