Strona 1 z 1
[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ
: 28 lut 2008, o 19:32
autor: chris139
1. Dane śa trzy dziesięciocyfrowe liczby pierwsze a, b, c, przy czym suma sześcianów dowolnych dwóch z nich jest podzielna przez trzecią z liczb. Udowodnij, że suma a+b+c jest podzielna przez chociaż jedną z danych liczb.
2. Wykaż że liczba
2^1111 ma więcej niż 333 cyfr
3. Dana jest liczba całkowita dodatnia n. Co jest większe
\(\displaystyle{ n!}\) czy \(\displaystyle{ 2^{n^2}}\)
4. Wykaż, że jeśli liczba rzeczywista a jest rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ x^3-3x+1=0}\) to liczba
\(\displaystyle{ a^2-2}\) tez jest rozwiazaniem tego rownania
[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ
: 28 lut 2008, o 19:50
autor: Wasilewski
2)
\(\displaystyle{ 2^{10} > 10^{3} \\
2^{10^{111}} > 10^{333} \\
2^{1110} > 10^{333} \Rightarrow 2^{1111} > 10^{333}}\)
Liczba po prawej ma 334 cyfry, a ta po lewej jest od niej większa.
[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ
: 28 lut 2008, o 20:35
autor: jaco1024
3.
Tam powinno być \(\displaystyle{ 2^{n^2}}\) ?
Jeśli tak to wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ n+1 < 2^{2n+1}}\) i indukcja
Można też szacować:
\(\displaystyle{ n! < 2^{\frac{n(n+1)}{2}} < 2^{n^2}}\)
[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ
: 29 lut 2008, o 00:14
autor: bosa_Nike
4. Z podstawienia: \(\displaystyle{ W(a^2-2)=W(a)\cdot\left(W(a)-2\right)}\)
[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ
: 29 lut 2008, o 01:01
autor: Qń
W czwartym można też dla uproszczenia rachunków skorzystać z tego, że skoro \(\displaystyle{ a^3-3a+1=0}\), to
\(\displaystyle{ a^2-2=1 - \frac{1}{a}}\) i sprawdzić, że to co po prawej stronie jest pierwiastkiem naszego równania.
Q.
[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ
: 29 lut 2008, o 18:27
autor: chris139
3 mi nie wychodzi moglby ktos pokazac reszte juz mam dzieki
[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ
: 29 lut 2008, o 19:14
autor: Gierol
chris139 pisze:3 mi nie wychodzi moglby ktos pokazac reszte juz mam dzieki
zwykla indukcja wychodzi. jesli nadal nie wiesz jak, to wieczorem Ci opisze dokladnie
[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ
: 29 lut 2008, o 19:29
autor: chris139
bardziej chodzi mi o wyprowadzenie zalozenia, z tym mam problem
pozniej juz sobie poradze
[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ
: 29 lut 2008, o 23:33
autor: jaco1024
Założenie wynika z tego że \(\displaystyle{ k < 2^k}\), co da się udowodnić indukcją.
Krok indukcyjny: \(\displaystyle{ k+1 < 2k < 2^{k+1}}\)
[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ
: 7 lip 2014, o 16:28
autor: Ponewor
[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ
: 7 lip 2014, o 17:02
autor: Kartezjusz
[MIX] Rozne zad z kolka olimpijskiego na UŚ
: 7 lip 2014, o 17:31
autor: Ponewor
Przepraszam, jakie twierdzenie?