Matematyka.pl

Oblicz granicę ciągu:

\(\displaystyle{ \large a_{n}\,=\,(-1)^{n}\, sin(\pi \sqrt{n^{2}+\frac{1}{2}n+1})\,sin(\frac{n+1}{4n}\pi)}\)

Niemożliwe żeby to było aż tak proste

Mam pewne wątpliwości co do pierwszego przejścia - bo na pewno:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } sin(\pi \sqrt{n^2+\frac{1}{2}n+1})=sin(\pi n)=0\,\,\,\,dla\,n\in N_{+}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } sin(\frac{n+1}{4n} \pi)\,=\,sin(\frac{\pi}{4})}\)

ale nie można zrobić:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } (-1)^{n} = (-1)^{n}}\)

bo ta granica nie istnieje. Więc nie wiem, czy jest do końca poprawnie...

lolz. granica = 1/2. to zadanie z 3 etapu konkursu PW, tak sie zlozylo, ze tez je mialem
(-1)^n mozna usunac korzystajac z wlasnosci sinusa.

No właśnie, miałem to zadanie na PW i dostałem za nie całe dwa punkty (ale pewnie dlatego, że wyszło mi 0 ). Możesz napisać swoje rozwiązanie?

\(\displaystyle{ (-1)^n\cdot\sin (\pi\cdot\sqrt{n^2+0.5n+1}) = (-1)^n\cdot\sin (\pi\cdot\sqrt{n^2+0.5n+1} - n + n) = \sin (\pi\cdot\sqrt{n^2+0.5n+1} - n)\Longrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}}\)

[Edit: olazola] Przypominam o pisowni w \(\displaystyle{ \TeX^{\'}u}\)

Głowę bym dał, że jeszcze rano (przed zmianą na Texa) 'n'-y były w nawiasach (mnożone przez \(\displaystyle{ \pi}\)), czyli powinno to wyglądać tak:

\(\displaystyle{ (-1)^{n}\,sin(\pi \sqrt{n^{2}+0.5n+1})=(-1)^{n}sin(\pi (\sqrt{n^{2}+0.5n+1}-n+n))=sin(\pi (\sqrt{n^{2}+0.5n+1}-n))}\)

Ale nieważne, nie o to mi chodzi.
Dlaczego ostatecznie wyszło tu 1/√2? Przecież:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}sin(\pi(\sqrt{n^{2}+0.5n+1}-n))=\lim_{n\to\infty}sin(\pi n(\sqrt{1+\frac{1}{2n}+\frac{1}{n^{2}}}-1))=sin(\pi n*0)=0}\)

\(\displaystyle{ sin(\pi\sqrt{n^2+\frac{1}{2}n})\rightarrow sin((n+\frac{1}{4})\pi)}\). To chyba dużo wyjaśnia reszta to szczegóły. Mamy w końcu \(\displaystyle{ ({\frac{\sqrt{2}}{2}})^2}\)

[ Dodano: Czw Cze 02, 2005 8:34 pm ]

ambrozy pisze: \(\displaystyle{ \lim_{n\to } sin(\pi \sqrt{n^2+\frac{1}{2}n+1})=sin(\pi n)=0\,\,\,\,dla\,n\in N_{+}}\)

A na jekiej podstawie mamy to? My wiemy tylko, że \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{n^2+\frac{1}{2}n+1}}{n} 1}\). Ale jak chwilkę pomyśleć, to \(\displaystyle{ \sqrt{n^2+\frac{1}{2}n+1}-(n+\frac{1}{4}) 0}\).

ambrozy, nie mozesz wylaczyc n przed nawias, bo wychodzi Sin(nieskonczonosc*0), czyli symbol nieoznaczony.

No tak:/ Z tym symbolem nieoznaczonym rzeczywiście nie można:/

paulusk pisze: \(\displaystyle{ sin(\pi\cdot\sqrt{n^{2}+0.5n+1}-n)\Longrightarrow\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

Dlaczego tu wychodzi 1/√2? Przecież argument sinusa jest różnicą wielokrotności pi i liczby naturalnej

Drago STR pisze: \(\displaystyle{ sin(\pi\sqrt{n^{2}+\frac{1}{2}n})\rightarrow sin((n+\frac{1}{4})\pi)}\)

Czemu jeden sinus zbiega do drugiego (o ile to miało oznaczać zbieganie)?

Drago STR pisze:

ambrozy pisze: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}sin(\pi\sqrt{n^{2}+\frac{1}{2}n+1})=sin(\pi n)=0\,\,\, dla\, n\in N_{+}}\)

A na jekiej podstawie mamy to?

Ja kombinuje tak: pod pierwiastkiem n^2 wyłączam przed nawias, potem przed znak pierwiastka. Dla n->oo wartość pod pierwiastkiem dąży do jedynki, więc argumentem sinusa dla \(\displaystyle{ n\in N_{+}}\) będzie całkowita wielokrotność \(\displaystyle{ \pi}\), czyli sinus=0.
[edit]
Już wszystko wiem, wreszcie mi wyszlo Dzięki za cierpliwość