Matematyka.pl

Wykaż, że dla każdej pary (a,b) liczb rzeczywistych nieujemnych i dla każdej liczby naturalnej dodatniej n prawdziwa jest nierówność:
\(\displaystyle{ (a\,+\,b)^{n} \,\leq\, 2^{n-1}\, (a^{n}\,+\,b^{n})}\)

Wskazówka z odpowiedzi:
Udowodnij najpierw nierówność:
\(\displaystyle{ a^{k+1}\,+\,b^{k+1}\,\geq\,a^{k}b\,+\,ab^{k}}\)

Mi niestety niewiele pomogła ale może komuś sie przyda

Rozwiązanie indukcyjne:

Nie zmniejszając ogólności zadania zakładam, że \(\displaystyle{ a\geq b}\)

I i III krok nie powinien sprawić problemów.

II krok.

Bierzemy dowolne \(\displaystyle{ k\in N}\).

Założenia:

\(\displaystyle{ (a+b)^n\leq 2^{n-1}(a^n+b^n)}\)

Teza:

\(\displaystyle{ (a+b)^{n+1}\leq 2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})}\)

Dowód:

\(\displaystyle{ (a+b)^{n+1}=(a+b)^n(a+b)\leq 2^{n-1}(a^n+b^n)(a+b)=2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}) + 2^{n-1}(a^nb+ab^n)}\)

Wystarczy dowieść, że

\(\displaystyle{ 2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}) + 2^{n-1}(a^nb+ab^n)\leq 2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})}\)

Czyli to co jest w wskazówce:

\(\displaystyle{ a^{n+1}+b^{n+1}\geq a^nb+ab^n}\)

\(\displaystyle{ (a^n-b^n)(a-b)\geq 0}\)

C.N.D.

Dzięki za pomoc