Dziedzina, Odwrotność, Złożenie

[supermario82]

Witam wszystkich!
Przejdę od razu do konkretów - nie wiem jak sobie poradzić z tymi arcsinusami... :
Oto treść zadania - proszę o rozwiązanie krok po kroku o ile to możliwe:

Dla podanych funkcji \(\displaystyle{ f(x) = 3 + \sqrt{x}}\) ; \(\displaystyle{ g(x) = arcsin \frac{x}{2}}\)

a) Wyznaczyć dziedzinę
b) Znaleźć funkcję odwrotną
c) Znaleźć funkcję f(g(x)) i g(f(x))

Z góry dziękuję... jutro koło eh...

[natkoza]

a)
\(\displaystyle{ f(x)=3+\sqrt{x}}\)
dziedzina: \(\displaystyle{ x\geq 0\Rightarrow x\in [0,\infty)}\)
\(\displaystyle{ g(x)=\arcsin\frac{x}{2}}\)
Dziedzina:\(\displaystyle{ -1 \leq \frac{x}{2}\leq 1\Rightarrow -2 \leq x\leq 2 \Rightarrow x\in [-2,2]}\)

[supermario82]

No to dziedzina załatwiona - Dziękuję... a kto podoła reszcie?

[JankoS]

Witam wszystkich! c) Znaleźć funkcję f(g(x)) i g(f(x))

a) \(\displaystyle{ f(x) = 3 + \sqrt{x}}\) Dziedzina \(\displaystyle{ D _{f}=[0,+\infty),}\) z definicji pierwiastka. \(\displaystyle{ f(D _{f})=[3,+\infty) .}\) f jest różnowartościowa, więc ma funkcję odwrotną
\(\displaystyle{ f ^{1} :[3,+\infty)\to[0,+\infty)}\) - z definicji funlcji odwrotnej.
Wyznaczam jej wzór \(\displaystyle{ y=3+ \sqrt{x} \Rightarrow \sqrt{x}=y-3 \Rightarrow x=(y-3) ^{2}.}\) Zamieniam x z y miejscami (pamiętam o dziedzinie) i mam
\(\displaystyle{ f ^{-1}(x)=(x-3) ^{2}, \ x\in[3,+\infty).}\)

b) \(\displaystyle{ g(x) = \arcsin \frac{x}{2}.}\) Dziedzina \(\displaystyle{ D _{g}=\{x\in\RR:-1 \leqslant \frac{x}{2} \leqslant 1\}=[-2,2]. g(D _{g}) =\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] .}\) Funkcja jest różnowartościowa, więc ma odwrotną \(\displaystyle{ g ^{-1}:\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-2,2].}\) Wyznaczam jej wzór \(\displaystyle{ y= \arcsin \frac{x}{2} \Rightarrow \frac{x}{2}=\sin y \Rightarrow x=2\sin y.}\) Zamieniam x z y miejscami (pamiętam o dziedzinie) i mam
\(\displaystyle{ g ^{-1}(x)=2\sin x, \ x\in\left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] .}\)
c) \(\displaystyle{ f(D _{f}}\) nie zawiera się w \(\displaystyle{ D _{g},}\) więc złożenie \(\displaystyle{ g(f(x))}\) nie istnieje. Tak samo nie jest możliwe z definicji drugie złożenie.

[supermario82]

JankoS trafiłeś w dziesiątkę - świetnie wszystko wytłumaczone...
No teraz w końcu zrozumiałem, nie wiedziałem że to takie proste