Wprowadxmy oznaczenia do obydwu zadań.
Niech
\(\displaystyle{ a}\) będzie krawędzią podstawy,
\(\displaystyle{ b}\)- krawędzią boczną,
\(\displaystyle{ h}\)- wysokością ściany bocznej. Oczywiście każda ze ścian bocznych ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym. Możemy zatem oznaczyć przez
\(\displaystyle{ c}\) wysokość tego trójkąta poprowadzoną do ramienia
\(\displaystyle{ b}\), tj. do krawędzi bocznej.
Kąt między płaszczyznami sąsiednich ścian bocznych to kąt między ramionami w trójkącie o bokach
\(\displaystyle{ a\sqrt{2}, c, c}\).
1. Z twierdzenia kosinusów w tym trójkącie mamy
\(\displaystyle{ (a\sqrt{2})^2=2c^2-2c^2\cos 120}\), więc
\(\displaystyle{ a=\frac{c\sqrt{6}}{2}}\).
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do ściany bocznej mamy
\(\displaystyle{ b^2=(\frac{a}{2})^2+h^2}\).
Ponadto z porównania wzorów na pole trójkąta
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bc}\) dostajemy
\(\displaystyle{ ah=bc}\).
Stąd mamy
\(\displaystyle{ \frac{c\sqrt{6}}{2}h=bc}\), czyli
\(\displaystyle{ b=\frac{h\sqrt{6}}{2}}\). Wstawiając to do drugiego wzoru otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{3}{2}h^2=\frac{a^2}{4}+h^2}\), tzn.
\(\displaystyle{ a=h\sqrt{2}}\).
Niech teraz
\(\displaystyle{ \alpha}\) będzie szukanym kątem nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Wówczas z definicji kosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym dostajemy
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\frac{1}{2}a}{h}=\frac{a}{2h}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\), czyli
\(\displaystyle{ \alpha=45}\) st.
2. a) Niech teraz
\(\displaystyle{ \beta}\) będzie szukanym kątem między ścianami bocznymi. W myśl przyjętych oznaczeń mamy z twierdzenia kosinusów
\(\displaystyle{ a^2=c^2(1-\cos\beta)}\).
Z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest
\(\displaystyle{ h=b\sin\alpha}\). Stąd i z równości
\(\displaystyle{ ah=bc}\) mamy
\(\displaystyle{ c=a\sin\alpha}\). Zatem
\(\displaystyle{ a^2=a^2\sin^2\alpha(1-\cos\beta)}\), czyli
\(\displaystyle{ 1-\cos\beta=\frac{1}{\sin^2\alpha}}\). W konsekwencji mamy
\(\displaystyle{ \cos\beta=1-\frac{1}{\sin^2\alpha}}\).
b) Z określenia S oraz z faktu, że pole boczne stanowią pola 4 przystających trójkątów mamy ze wzoru na pole trójkąta
\(\displaystyle{ ah=2S}\).
Z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy
\(\displaystyle{ h=\frac{a}{2}tg\alpha}\). Niech
\(\displaystyle{ H}\) będzie wysokością ostrosłupa. Wtedy z twierdzenia Pitagorasa ammy
\(\displaystyle{ h^2=\frac{a^2}{4}+H^2}\). Stąd
\(\displaystyle{ H=\frac{a}{2}\sqrt{tg^2\alpha-1}}\)
oraz
\(\displaystyle{ a=2\sqrt{S\cdot tg\alpha}}\).
Ze wzoru na objętość ostrosłupa dostajemy
\(\displaystyle{ V=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}H=\frac{1}{3}\sqrt{S^3\cdot tg^3\alpha(tg^2\alpha-1)}}\).
Pozdrawiam.