Równania Maxwella
: 17 lut 2008, o 17:36
Jako że równania Maxwella są niezwykle istotne, to warto, by znalazły się w kompendium. Zwykle zapisuje się je w dwóch postaciach.
I W postaci różniczkowej:
\(\displaystyle{ 1) \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\varrho}{\varepsilon}; \\
2) \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}; \\
3) \nabla \cdot \vec{B} = 0; \\
4) \nabla \times \vec{B} = \mu \vec{j} + \mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.}\)
II W postaci całkowej:
\(\displaystyle{ 1) \oint_{S} \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon};\\
2) \oint_{l} \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\partial \Phi_B}{\partial t}; \\
3) \oint_{S} \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{S} = 0; \\
4) \oint_{l} \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{l} = \mu I + \mu \varepsilon \frac{\partial \Phi_E}{\partial t}. }\)
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ \varrho}\) - gęstość ładunku.
\(\displaystyle{ \varepsilon}\) - przenikalność dielektryczna.
\(\displaystyle{ \mu}\) - przenikalność magnetyczna.
\(\displaystyle{ \vec{j}}\) - gęstość prądu.
\(\displaystyle{ \Phi_B}\) - strumień indukcji magnetycznej.
\(\displaystyle{ \Phi_E}\) - strumień natężenia pola elektrycznego.
Wypadałoby też napisać, jak nazywają się poszczególne równania i jakie zjawiska opisują, zatem:
1) Prawo Gaussa dla elektryczności - źródłem pola elektrycznego są ładunki, a strumień tego pola przez dowolną powierzchnię zamkniętą zależy tylko od ładunku zamkniętego przez tę powierzchnię.
2) Prawo Faradaya - zmiana strumienia indukcji magnetycznej przez powierzchnię zamkniętej pętli powoduje powstanie w tej pętli siły elektromotorycznej indukcji (SEM), a kierunek płynącego prądu jest taki, żeby przeciwdziałać zmianom powodującym indukcję (reguła Lenza).
3) Prawo Gaussa dla magnetyzmu - nie istnieją ładunki magnetyczne, a strumień pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy 0.
4) Prawo Ampere'a - zmienne pole elektryczne i płynący prąd powodują powstanie pola magnetycznego.
Mamy zatem ładne równania, więc warto zastosować je w praktyce. Jako pierwszy przykład udowodnimy zasadę zachowania ładunku:
\(\displaystyle{ \frac{\partial \varrho}{\partial t} + \nabla\cdot \vec{j} = 0.}\)
To równanie oznacza, że przyrost gęstości ładunku jest kompensowany przez odpływ ładunku wraz z prądem. Weźmy prawo Ampere'a w postaci różniczkowej i obłóżmy obustronnie dywergencją:
\(\displaystyle{ \nabla\cdot (\nabla \times \vec{B}) = \mu \nabla\cdot \vec{j} + \mu \varepsilon \nabla\cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.}\)
Korzystając z tego, że dywergencja rotacji znika, a kolejność różniczkowania nie ma znaczenia, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 0 = \mu \nabla \cdot \vec{j} + \mu \varepsilon \frac{\partial}{\partial t} (\nabla\cdot \vec{E}).}\)
Ale z prawa Gaussa wiemy, że:
\(\displaystyle{ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\varrho}{\varepsilon}.}\)
Po podzieleniu obustronnym przez \(\displaystyle{ \mu}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 0 = \nabla\cdot \vec{j} + \varepsilon \frac{\partial \frac{\varrho}{\varepsilon}}{\partial t} = \nabla\cdot \vec{j} + \frac{\partial \varrho}{\partial t}.}\)
Czyli to, co chcieliśmy otrzymać.
I W postaci różniczkowej:
\(\displaystyle{ 1) \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\varrho}{\varepsilon}; \\
2) \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}; \\
3) \nabla \cdot \vec{B} = 0; \\
4) \nabla \times \vec{B} = \mu \vec{j} + \mu \varepsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.}\)
II W postaci całkowej:
\(\displaystyle{ 1) \oint_{S} \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{S} = \frac{Q}{\varepsilon};\\
2) \oint_{l} \vec{E} \cdot \mbox{d}\vec{l} = - \frac{\partial \Phi_B}{\partial t}; \\
3) \oint_{S} \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{S} = 0; \\
4) \oint_{l} \vec{B} \cdot \mbox{d}\vec{l} = \mu I + \mu \varepsilon \frac{\partial \Phi_E}{\partial t}. }\)
Oznaczenia:
\(\displaystyle{ \varrho}\) - gęstość ładunku.
\(\displaystyle{ \varepsilon}\) - przenikalność dielektryczna.
\(\displaystyle{ \mu}\) - przenikalność magnetyczna.
\(\displaystyle{ \vec{j}}\) - gęstość prądu.
\(\displaystyle{ \Phi_B}\) - strumień indukcji magnetycznej.
\(\displaystyle{ \Phi_E}\) - strumień natężenia pola elektrycznego.
Wypadałoby też napisać, jak nazywają się poszczególne równania i jakie zjawiska opisują, zatem:
1) Prawo Gaussa dla elektryczności - źródłem pola elektrycznego są ładunki, a strumień tego pola przez dowolną powierzchnię zamkniętą zależy tylko od ładunku zamkniętego przez tę powierzchnię.
2) Prawo Faradaya - zmiana strumienia indukcji magnetycznej przez powierzchnię zamkniętej pętli powoduje powstanie w tej pętli siły elektromotorycznej indukcji (SEM), a kierunek płynącego prądu jest taki, żeby przeciwdziałać zmianom powodującym indukcję (reguła Lenza).
3) Prawo Gaussa dla magnetyzmu - nie istnieją ładunki magnetyczne, a strumień pola magnetycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą jest równy 0.
4) Prawo Ampere'a - zmienne pole elektryczne i płynący prąd powodują powstanie pola magnetycznego.
Mamy zatem ładne równania, więc warto zastosować je w praktyce. Jako pierwszy przykład udowodnimy zasadę zachowania ładunku:
\(\displaystyle{ \frac{\partial \varrho}{\partial t} + \nabla\cdot \vec{j} = 0.}\)
To równanie oznacza, że przyrost gęstości ładunku jest kompensowany przez odpływ ładunku wraz z prądem. Weźmy prawo Ampere'a w postaci różniczkowej i obłóżmy obustronnie dywergencją:
\(\displaystyle{ \nabla\cdot (\nabla \times \vec{B}) = \mu \nabla\cdot \vec{j} + \mu \varepsilon \nabla\cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.}\)
Korzystając z tego, że dywergencja rotacji znika, a kolejność różniczkowania nie ma znaczenia, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 0 = \mu \nabla \cdot \vec{j} + \mu \varepsilon \frac{\partial}{\partial t} (\nabla\cdot \vec{E}).}\)
Ale z prawa Gaussa wiemy, że:
\(\displaystyle{ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\varrho}{\varepsilon}.}\)
Po podzieleniu obustronnym przez \(\displaystyle{ \mu}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 0 = \nabla\cdot \vec{j} + \varepsilon \frac{\partial \frac{\varrho}{\varepsilon}}{\partial t} = \nabla\cdot \vec{j} + \frac{\partial \varrho}{\partial t}.}\)
Czyli to, co chcieliśmy otrzymać.