Matematyka.pl

uzasadnij, ze jesli liczby x, y, z tworzą ciąg arytmetyczny rosnący, to liczby
\(\displaystyle{ 2 ^{3-5x} , 2^{3-5y} , 2^{3-5z}}\)
tworzą ciąg geometryczny malejący

No skoro liczby \(\displaystyle{ x, y, z}\) tworzą ciąg arytmetyczny i jest on rosnący, to:

\(\displaystyle{ x+z=2y}\)

Teraz zapiszmy warunek na ciąg geometryczny.

\(\displaystyle{ (2^{3-5y})^2=2^{3-5x}2^{3-5z}}\)
\(\displaystyle{ 2^{6-10y}=2^{6-5x-5z}}\)
\(\displaystyle{ -10y=-5x-5z}\)
\(\displaystyle{ x+z=2y}\) co należało dowieść.

teraz czy ciąg ten jest malejący? zbadajmy iloraz kolejnych wyrazów.

\(\displaystyle{ \frac{2^{3-5y}}{2^{3-5x}}=2^{5x-5y}}\) Skoro ciąg x, y, z jest rosnący, to \(\displaystyle{ y>x}\) więc \(\displaystyle{ 2^{5x-5y}}\)