Matematyka.pl

(a) \(\displaystyle{ y''+y=tgx}\)
(b) \(\displaystyle{ y''-2y'+y=\frac{e^x}{x^2+1}}\)

Przykładowo a)
Rozw. r. jednorodnego jest oczywiście \(\displaystyle{ y_1 = A \cos x + B \sin x}\).
Stosując metodę uzmienniania zmiennych mamy:
\(\displaystyle{ A' \cos x + B' \sin x = 0\\
A' ( - \sin x) + B' \cos x = \tan x}\)
Mnożąc pierwsze równanie przez cos x, a drugie przez -sin x i dodając je stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ A'(x) = \tan x (- \sin x)\\
A' = \frac{- \sin^2 x}{\cos x} = \cos x - \frac{1}{\cos x}\\
A = \sin x - \ln \left| \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \right|}\)
W podobny sposób wyznaczamy B' i całkujemy:
\(\displaystyle{ B' = \sin x \Rightarrow B = - \cos x}\)
Wstawiając do odpowiednich wzorów otrzymane dane, otrzymujemy ostatecznie:
\(\displaystyle{ y = A \cos x + B \sin x - \cos x \ln \left| \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} \right) \right|}\)

w b) juz chyba bedzie nieco trudniej

Metoda postępowania jest identyczna, a jak masz jakiś problem, to wskaż z czym konkretnie.

co jest rozwiązaniem równania jednorodnego?

Jak podstawisz sobie:
\(\displaystyle{ y = e^{rx} \\
r^2 e^{rx} - 2r e^{rx} + e^{rx} = 0 \\
(r-1)^2 = 0 r=1}\)
Mamy pierwiastek podwójny, więc rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ y = Ae^x+ Bxe^x}\)