Całka szczególna

[kamil.jack]

Znajdz całkę szczególną równania spełnającą podany warunek początkowy
(a)\(\displaystyle{ y'=y-y^2}\), y(0)=0,5
(b)\(\displaystyle{ x y'=tgy}\), \(\displaystyle{ y(\frac{1}{2})=\frac{5\pi}{6}}\)
(c)\(\displaystyle{ y'=\frac{y-x}{x}}\), y(1)=-2

[luka52]

a) Rozdzielasz zmienne i całkujesz:
\(\displaystyle{ \int\limits_{1/2}^y \frac{\mbox{d}y}{y (1 - y)} = \int\limits_0^x \mbox{d}x}\)

b) Analogicznie jak w a).

c) Przepisujemy równanie jako
\(\displaystyle{ y' = u - 1}\)
gdzie u=y/x.
Dalej: y = ux => y' = u + u'x:
\(\displaystyle{ u + u'x = u - 1\\
\frac{du}{dx} = -1\\
du = - dx \ \ \mbox{etc.}}\)

[kamil.jack]

a czy takei rozwiazanie tez bedzie prawidlowe:

(a)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=y-y^2\iff \frac{-dy}{y(y-1)}=dx}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ \int\frac{-dy}{y(y-1)}=\int\frac{dy}{y}-\int\frac{dy}{y-1}=
\ln|y|-\ln|y-1|+c=\ln\left|\frac{c_1y}{y-1}\right|}\)
to dane równanie jest równoważne
\(\displaystyle{ \ln\left|\frac{c_1y}{y-1}\right|=x}\)
do tego warunek początkowy
\(\displaystyle{ \ln\left|\frac{c_1\cdot 0,5}{0,5-1}\right|=0}\)
pozwoli wyznaczyć \(\displaystyle{ c_1}\)... i ostatecznie \(\displaystyle{ y}\)

[luka52]

Tak, acz dobrze by było pozbyć się tego logarytmu na końcu, bo to brzydko wygląda ;].

[kamil.jack]

logarytm jest do wyznaczania \(\displaystyle{ c_1}\)

[luka52]

Chodziło mi o przedstawienie wyniku jako \(\displaystyle{ \frac{C y}{y-1} = e^x}\), ale to tylko taka 'kosmetyka'.

[kamil.jack]

hehe ok
dzieki